Expresión de un campo vectorial dado para la proyección estereográfica de la esfera

Question

Me he quedado atascado intentando resolver el siguiente problema. Sea $X=-zx \frac{\partial}{\partial x} -zy \frac{\partial}{\partial y} + (1-z^2) \frac{\partial}{\partial z}$ sea un campo vectorial en $\mathbb{R}^3$ . Se me pide que determine la expresión de la restricción de $X$ a la esfera mediante el siguiente cuadro $\phi: (u,v) \to (\frac{x}{1-z}, \frac{y}{1-z})$ .

Lo que intenté fue expresar $X|_{S^2}$ como $A_u \frac{\partial}{\partial u} + A_v \frac{\partial}{\partial v }$ y luego tratar de determinar las funciones $A_u$ y $A_v$ usando eso

$$ \frac{\partial}{\partial u} = \frac{1}{1-z} \frac{\partial}{\partial x} + \frac{x}{(1-z)^2} \frac{\partial}{\partial z}$$

$$ \frac{\partial}{\partial v} = \frac{1}{1-z} \frac{\partial}{\partial y} + \frac{y}{(1-z)^2} \frac{\partial}{\partial z}$$

Pero no consigo nada que tenga sentido. ¿Dónde me he equivocado? ¿Cómo puedo solucionar esto?

Answer 1

Es mejor expresar $\frac{\partial }{\partial x}, \frac{\partial }{\partial y}, \frac{\partial }{\partial z}$ en términos de $\frac{\partial }{\partial u}$ , $\frac{\partial }{\partial v}$ :

$$\frac{\partial }{\partial x}=\frac{1}{1-z}\frac{\partial }{\partial u}\\ \frac{\partial }{\partial y}=\frac{1}{1-z}\frac{\partial }{\partial v}\\ \frac{\partial }{\partial z}=\frac{x}{(1-z)^2}\frac{\partial }{\partial u}+\frac{y}{(1-z)^2}\frac{\partial }{\partial v}$$

Ahora puedes introducir esto en la expresión original y simplificar.