Convergencia en probabilidad dado que la matriz de covarianza va a $0$

Question

Supongamos que tengo una secuencia de vectores aleatorios $\{X_n\}$ cada uno de dimensión $2\times 1$ . Supongamos también que sé $$ E(X_n)=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix},\\\text{var}(X_n)=\begin{pmatrix}\frac{2}{n^3}&\frac{1}{n^2}\\\frac{1}{n^2}&\frac{1}{n}\end{pmatrix}. $$ ¿Puedo decir que $X_n\to 0$ en la probabilidad? Si $X_n$ fuera un escalar, sabría cómo hacerlo utilizando la desigualdad de Chebyshev pero para este caso vectorial, no sé cómo enfocar el problema.

Answer 1

Una secuencia de vectores aleatorios $$ \mathbf{X}_{n} = \begin{bmatrix} {(X_{n})}_{1} & \cdots & {(X_{n})}_{m} \end{bmatrix}^{T} $$ converge en probabilidad a un vector constante $\mathbf{a}$ si $ {(X_{n})}_{i}$ converge en probabilidad a $a_{i}$ , $\forall i \in \lbrace{1, \dots, m }\rbrace$ .