$yy''=y^2y'+(y')^2$ método de reducción (ecuación diferencial)

Question

Tengo una pregunta sobre el uso de la reducción para resolver

$$yy''=y^2y'+(y')^2$$

Así es como he estado pensando:

poner $y'=p$ y $p''=(dp)/(dy)*p$

$yp*dp/dy-y^2p-p^2=0$

...

$dp/dy-y=p/y$

pero ahora no sé cómo puedo resolverlo ¿quizás con factor integrador?

Gracias por la ayuda

Answer 1

$$p'-\frac{p}{y}=y \stackrel{\cdot e^{\int -\frac{1}{y} \mathrm{d}y}=\frac{1}{y}}{\iff} \frac{p'}{y}-\frac{p}{y^2}=1 \iff \frac{p'}{y} \left (\frac{1}{y}\right )_y p=1 \iff \left (\frac{p}{y}\right )_y=1 \iff p=cy+y^2$$

Notación; $$(X)_y=\frac {\mathrm{d}X}{\mathrm{d}y}$$