$H^2(\mathfrak g, \mathbb C)$ clasificando extensiones centrales de un álgebra

Question

En el libro de Blumenhagen sobre la teoría de campos conforme, después de introducir el álgebra de Witt, continúa encontrando la extensión central, es decir, el álgebra de Virasoro,

$$[L_m, L_n] = (m-n) L_{m+n} + \frac{c}{12}(m^3-m)\delta_{m+n,0}.$$

Él hace el comentario de que:

Observamos que arriba hemos calculado el segundo grupo de cohomología $H^2$ del álgebra de Witt...

y continúa diciendo que $H^2(\mathfrak g, \mathbb C)$ clasifica extensiones centrales de un álgebra $\mathfrak g$. Como físico, estoy más familiarizado con el estudio de cohomologías de variedades, en términos de formas diferenciales y demás. Me preguntaba si se podría aclarar, si es que tiene alguna analogía con esta imagen, cómo está relacionada esta extensión central con $H^2$.

Dado que los generadores del álgebra de Virasoro se pueden ver como generadores del grupo conforme $G$ de la hoja de mundo de una cuerda, supongo que al ser una variedad suave, debe haber probablemente un vínculo entre $H^2(\mathfrak g, \mathbb C)$ y esta variedad también?

Answer 1

La cohomología del álgebra de Lie es un dispositivo algebraico y aunque existen relaciones con la topología algebraica, no creo que sean particularmente relevantes en el contexto que estás mirando. Lo que necesitas aquí se puede expresar en términos muy elementales: Intenta definir un corchete de Lie en $\mathfrak g\times\mathbb C$ por $[(X,z),(Y,w)]=([X,Y],\phi(X,Y))$ con el corchete de Lie de $\mathfrak g$ utilizado en el primer factor y un mapa bilineal $\phi$. (Este ansatz significa exactamente que $\{0\}\times\mathbb C$ será un ideal abeliano si la construcción define un corchete de Lie.) El resultado será antisimétrico si y solo si $\phi(Y,X)=-\phi(X,Y)$, por lo que $\phi$ tiene que ser antisimétrico. Además, el nuevo corchete satisface la identidad de Jacobi si y solo si $0=\partial\phi(X,Y,Z):=-\phi([x,Y],Z)+\phi([X,Z],Y)-\phi([Y,Z],X)$. Esto se suele expresar como $\phi$ siendo un cociclo.

Por otro lado, puedes preguntarte si para dos cociclos $\phi$ y $\psi$ hay un isomorfismo entre los álgebras de Lie resultantes que tiene la forma $(X,z)\mapsto (X,\alpha(X)+z)$ (un "isomorfismo de extensiones") para un mapa lineal $\alpha:\mathfrak g\to\mathbb C$. Esto se ve fácilmente equivalente al hecho de que $\psi(X,Y)=\phi(X,Y)-\alpha([X,Y])$. Guiado por eso, observas que $\partial\alpha(X,Y):=-\alpha([X,Y])$ siempre es un cociclo, y llamas cociclos de esta forma cobordismos. Esto muestra que las clases de isomorfismo de extensiones como las anteriores están en correspondencia biyectiva con el cociente de cociclos módulo cobordismos, que es la cohomología $H^2$ de $\mathfrak g$ con coeficientes en la representación trivial $\mathbb C$. Esto encaja en un panorama mucho más general, ya que hay cohomología de todos los grados y con coeficientes en cualquier representación, pero esa es otra historia.

La relación con la topología algebraica se ve más fácilmente en el lenguaje de la cohomología de de-Rham: Los mapas multilineales antisimétricos de $\mathfrak g$ en $\mathbb C$ corresponden a formas diferenciales invariante por la izquierda en cualquier grupo de Lie con álgebra de Lie $\mathfrak g$ y la diferencial de la cohomología del álgebra de Lie $\partial$ de arriba es inducida por la derivada exterior (que mapea formas invariante por la izquierda en formas invariante por la izquierda).