Dejemos que $\mathcal{A}$ sea el álgebra de von Neumann de operadores acotados en un espacio de Hilbert y $\mathcal{A}_{*}$ su predual. Consideremos además una secuencia débilmente convergente de operadores continuos y acotados $V^{m}:[0,T]\rightarrow\mathcal{A}_{*}.$ Sé que el límite $V$ está acotado (con esto quiero decir que cada elemento en $V([0,T])$ está acotado) por el principio de acotación uniforme, pero ¿el límite es también continuo? Esto podría ser una consecuencia fácil o simplemente errónea. Me parece que me estoy perdiendo algo...
Respuesta
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Vas a necesitar alguna noción de convergencia uniforme para asegurar que el límite $V$ es continua. Por ejemplo, fijar $a\in\mathcal A_*$ distinto de cero, y definir $V^m:[0,1]\to \mathcal A_*$ por $V^m(t)=t^ma$ . Entonces la secuencia $(V^m)$ converge puntualmente a $V:[0,1]\to\mathcal A_*$ definido por \begin {align*} V(t)= \left\ { \begin {array}{lcl}0&:&t \in [0,1), \\ a&:&t=1, \end {array} \right. \end {align*} que ciertamente no es continua.
