¿Puede alguien dar un ejemplo de una estructura algebraica "no artificial" que no sea un anillo sólo por la falta de la propiedad distributiva de uno y dos lados?
Respuesta
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Casteels te ha señalado correctamente el artículo de la Wikipedia, pero ya que quieres que sólo una ley distributiva no se cumpla (pero que la adición sea conmutativa), veamos precisamente esto.
Consideremos un grupo abeliano escrito multiplicativamente $G$ (más adelante), y el conjunto $N$ de mapas $G \to G$ , escritos como exponentes.
Definir las operaciones $+$ y $\cdot$ en $N$ por $$ g^{m + n} = g^{m} g^{n}, $$ y $\cdot$ es la composición $$ g^{m n} = (g^{m})^{n}. $$ Desde $G$ es abeliana, la suma es conmutativa.
En cuanto a las propiedades distributivas, $m (n + k) = m n + m k$ es válida por la definición de $+$ pero $$(m + n) k = m k + n k\tag{distr}$$ fallará si $k$ no es un endomorfismo. Para ver esto, tomemos dos elementos cualesquiera $a, b \in G$ Consideremos dos mapas cualesquiera $m, n$ tal que $m : 1 \mapsto a$ y $n : 1 \mapsto b$ entonces si (distr) se mantiene tienes $$ (a b)^{k} =(1^{m} 1^{n})^{k} = (1^{m + n})^{k}= 1^{(m + n) k} = 1^{m k + n k}= 1^{m k} 1^{n k} = a^{k} b^{k}. $$
Así que si $G$ tiene al menos dos elementos, (distr) falla.
