Encontrar la función de transferencia, polos, ceros de un circuito RC

Question

Estoy tratando de repasar un poco la teoría de electrónica y estoy trabajando en este PDF.

En la parte inferior de la página F-6 hay un problema, F.1, que actualmente estoy tratando de resolver. El circuito es el siguiente:

simula este circuito – Esquemático creado utilizando CircuitLab

Con el fin de encontrar la función de transferencia, $$T(s) = \frac{Vo(s)}{Vi(s)}$$

Primero obtuve el siguiente circuito equivalente:

simula este circuito

donde $$V'i = \frac{Vi*C1}{C1+C2}$$

A partir de esto obtengo la función de transferencia utilizando la transformada de Laplace: $$T(s) = \frac{s}{s + \frac{1}{R(C1 + C2)}}$$

En este punto, no estoy del todo seguro de si he hecho todo correctamente, así que me gustaría que alguien lo verificara. Si esto no es correcto, por favor házmelo saber para que pueda editar la pregunta mostrando mi razonamiento. Esto debería ayudarnos a reducir el error. Simplemente no quiero publicar todo el razonamiento a menos que sea absolutamente necesario.

La segunda parte de la pregunta pregunta si este es un circuito de una constante de tiempo única, lo cual espero que sea porque el circuito se puede reducir a un solo capacitor y un solo resistor. El tipo sería pasa altos.

La tercera parte de la pregunta dice que para los valores de los elementos mostrados, encuentra los polos y los ceros. Es claro a partir de la función de transferencia que hay un cero en s = 0 rad/seg y un polo en $$\frac{1}{R(C1+C2)} = \frac{1}{100k*2*(0.5*10^{-6})} = 10$$ rad/seg.

¿Son todas estas respuestas correctas y completas? ¿He pasado por alto algo? No he hecho esto durante algún tiempo, así que necesito desesperadamente un curso de repaso.

EDICIÓN:

La última parte del problema pide esbozar los diagramas de Bode de respuesta de magnitud y fase. Estoy teniendo algunos problemas con esta parte. Tengo lo siguiente para la magnitud:

donde la grafica A es la ganancia final. ¿Hice correctamente esta parte? En cuanto a la fase, ni siquiera estoy seguro por dónde empezar. Tengo que $$ = -tan^{-1}(\frac{w}{10})$$ y creo que el término s = 0 nos da un comienzo de +90°, por lo que eso nos daría una línea recta en la gráfica de grados vs. rad/seg. No sé a dónde ir desde allí. Se agradecería algo de ayuda en esta parte. ¿Cuál es el siguiente paso (para trazar la fase del polo)? Sé que la fase caería, pero dónde comienza/termina la caída, no lo sé.

Estoy feliz de proporcionar más aclaraciones donde sea necesario.

Answer 1

Usando impedancias (perdona la falta de formas estándar en el camino) y escribiendo detalladamente desde cero, obtengo:

$$\begin{align*} \frac{V_O}{V_I}&= \frac{R\:||\: C_2}{C_1+R\:||\: C_2}\\\\ &=\frac{\frac{R}{1+s R C_2}}{\frac{1}{s C_1}+\frac{R}{1+s R C_2}}\\\\&=\frac{\frac{R}{1+s R C_2}}{\frac{1+s R C_2}{s C_1 \left(1+s R C_2\right)}+\frac{s R C_1}{s C_1 \left(1+s R C_2\right)}}\\\\ &=\frac{\frac{R}{1+s R C_2}}{\frac{1+s R\cdot\left(C_1+C_2\right)}{s C_1 \left(1+s R C_2\right)}}=\frac{R}{1+s R C_2}\cdot\frac{s C_1 \left(1+s R C_2\right)}{1+s R\cdot\left(C_1+C_2\right)}\\\\&=\frac{s R C_1}{1+s R\cdot\left(C_1+C_2\right)}=\frac{\frac{s C_1}{C_1+C_2}}{s+\frac{1}{R\cdot\left(C_1+C_2\right)}}\\\\&=\left[\frac{s}{s+\frac{1}{R\cdot\left(C_1+C_2\right)}}\right]\cdot\left[\frac{C_1}{C_1+C_2}\right] \end{align*}$$

Así que supongo que estoy de acuerdo con tus resultados (en la primera parte).

Answer 2

Una contribución: En cuanto a las matemáticas, creo que la forma más fácil de obtener la función de transferencia \$V_o(s)/V_i(s)\$ es aplicar la KCL al nodo superior:

Answer 3

Tu polo y cero son correctos, pero la función de transferencia debe ser T(s) = sRC/(s2RC+1). Reorganizada, tu función de transferencia sería T(s) = s2RC/(s2RC +1). No mostraste todos tus pasos, así que no puedo ver dónde te equivocaste.