Para lo cual $\alpha$ hace $L_\alpha\models\omega_1$ ¿es un cardenal?

Question

Estoy leyendo la demostración de Jech del teorema de Ketonen, que si hay un ultrafiltro uniforme no regular sobre $\omega_1$ , entonces existe Zero Sharp. En algún momento (Lemma 38.13, (Pure and Applied Mathematics, Vol. 79) Thomas Jech - Set theory-Academic Press, Elsevier (1978)) demuestra, que $\omega_1$ es inaccesible en L. Mi pregunta es, ¿para qué $\alpha$ hace $L_\alpha\models\omega_1^V$ ¿es un cardenal? Habría asumido, que este es el caso para todos $\alpha>\omega_1$ pero en la prueba parece que $L_{\omega_2}\models$ " $\omega_1^V$ es un cardenal", pero no siempre es el caso de $L_\gamma$ para $\omega_1<\gamma<\omega_2$ . Pensé que ser un cardenal es absoluto hacia abajo. Tal vez estoy malinterpretando algo en la prueba.

Sea D el ultrafiltro no regular que prolonga el filtro club y $\omega_1<\gamma<\omega_2$ s.t. $L_\gamma\prec L_{\omega_2}$ . Entonces podemos definir incrustaciones elementales $j_{\gamma}^\alpha:L_{f_\gamma(\alpha)}\to L_\gamma$ con $j_{\gamma}^\alpha(\alpha)=\omega_1$ para el club muchos $\alpha$ .

Suponemos entonces que $\omega_1$ no es inaccesible en $L$ . Esto significa que hay un $\alpha_0<\omega_1$ s.t. para todos $\alpha_0<\alpha<\omega_1$ hay un $f(\alpha)<\omega_1$ s.t. $L_{f(\alpha)}\models \alpha$ no es un cardenal.

Entonces obtenemos por la no regularidad del ultrafiltro, que hay un $\gamma$ s.t. $f<f_\gamma$ mod D. Así que para casi todo $\alpha$ , $L_{f_\gamma(\alpha)}\models \alpha$ no es un cardenal.

Esto debería ser una contradicción porque entonces hay una $\alpha$ s.t tenemos esta incrustación elemental y $L_{f_\gamma(\alpha)}\models \alpha$ no es un cardenal. Así que $L_\gamma\models\omega_1$ no es un cardenal. Contradicción.

Por esto, parece, que no es importante tener, que $L_\gamma$ es un submodelo elemental de $L_{\omega_2}$ .

Answer 1

(Advertencia del lector: No tengo un ejemplar de esta edición específica del libro. Sólo puedo adivinar lo que hay en su interior basándome en la información dada en la pregunta).

¿Qué significa para $\omega_1$ a no ser un inaccesible en $L$ ? Bueno, significa que hay algo de $\alpha_0<\omega_1$ tal que $(\alpha_0^+)^L=\omega_1$ .

Esto significa que para todos los $\alpha\in(\alpha_0,\omega_1)$ , $\alpha$ es no un cardenal en $L$ y, por lo tanto, hay algo de $f(\alpha)$ siendo testigo de ello.

Ahora, utilizando las propiedades de $D$ , obtenemos que para casi todos los $\alpha$ , $f_\gamma(\alpha)$ funciona como un ejemplo de ello.

Porque $D$ amplía el filtro del club, también podemos suponer que $\gamma$ es tal que $L_\gamma\prec L_{\omega_2}$ . Entonces para un club de $\alpha<\omega_1$ tenemos incrustaciones elementales $j_\gamma^\alpha\colon L_{f_\gamma(\alpha)}\to L_\gamma$ tal que $j_\gamma^\alpha(\alpha)=\omega_1$ . Basta con tomar un submodelo elemental contable de $L_\gamma$ con $\omega_1$ un elemento del modelo (para simplificar podemos suponer que contiene $\alpha_0$ también).

Pero ahora tenemos una contradicción, ya que $L_{f_\gamma(\alpha)}\prec L_\gamma$ con $\alpha$ que se asigna a $\omega_1$ . Pero $L_\gamma\models\omega_1\text{ is a cardinal}$ , mientras que $L_\gamma\models j_\gamma^\alpha(\alpha)\text{ is not a cardinal}$ .

Answer 2

En efecto, tiene usted razón: ser cardenal es algo absoluto a la baja. En particular, si $L_\alpha$ cree que $\beta$ no es un cardenal, eso significa que hay $f,\gamma\in L_\alpha$ tal que $L_\alpha$ piensa $\gamma$ es un ordinal $<\beta$ y $f$ es una suryección de $\gamma$ a $\beta$ . Pero todos esos datos son absolutos al alza: tendríamos en $V$ que $\gamma$ es un ordinal $<\beta$ y $f$ es una suryección de $\gamma$ a $\beta$ .

Podría ayudar si usted puede explicar por qué la prueba sugiere que esto falla.