Estructura de los espacios de chorro infinito

Question

Tengo curiosidad por las posibles formulaciones equivalentes del haz de chorros infinito. Parece que todos los haces de chorros podrían construirse de forma equivalente modificando por la igualdad de las derivadas parciales en todas partes a la vez . Se perdería la estructura explícita del haz, pero sería funcionalmente equivalente. Además, en el haz de chorros infinito, me resulta difícil ver por qué no contiene todo la estructura de $C^\infty$ . Esta es la pregunta de manera más formal:

Dejemos que $M$ y $N$ sean variedades suaves. Definimos las siguientes relaciones de equivalencia en $C^\infty(M,N)$ :

• Para $p\in M$ y $k\in\mathbb N$ , set $uR_p^kv$ si las derivadas parciales de $u$ y $v$ coinciden hasta el orden $k$ en $p$ .
• Para $p\in M$ , set $uR_p^\infty v$ si todas las derivadas parciales de $u$ y $v$ coinciden en $p$ .
• Para $k\in\mathbb N$ , set $uR^kv$ si las derivadas parciales de $u$ y $v$ coinciden en todas partes hasta el orden $k$ .
• Establecer $uR^\infty v$ si todas las derivadas parciales de $u$ y $v$ coinciden en todas partes.

Los espacios de chorro habituales se definen como $$J_p^k(M,N)=C^\infty(M,N)/R_p^k$$ por lo que el haz de chorros es el haz de fibras $\pi^k:J^k(M,N)\to M$ tal que $(\pi^k)^{-1}(p)=J_p^k(M,N)$ .

El espacio de chorro infinito en $p$ se define como el límite inverso del $k$ -espacios de chorro, $$J_p^\infty(M,N)=\lim_{\longleftarrow}J_p^k(M,N)$$ y el haz de chorros infinito es el límite inverso del $k$ -bultos de chorro, $$J^\infty(M,N)=\lim_{\longleftarrow}J^k(M,N)$$

Mi pregunta es, ¿cuál es la relación entre los siguientes conjuntos de espacios?

• $J^k(M,N)$ y $C^\infty(M,N)/R^k$
• $J_p^\infty(M,N)$ y $C^\infty(M,N)/R_p^\infty$
• $J^\infty(M,N)$ , $\displaystyle \lim_{\longleftarrow}C^\infty(M,N)/R^k$ , $C^\infty(M,N)/R^\infty$ y sólo $C^\infty(M,N)$ sí mismo.

Answer 1

Me temo que la intuición que se sigue en esta construcción no es realmente correcta. El espacio del chorro $J^k(M,N)$ no es un cociente de $C^\infty(M,N)$ en un sentido razonable. Si tiene $uR^k_pv$ Entonces, en particular $u(p)=v(p)$ (y de lo contrario no tendría sentido comparar las derivadas parciales en $p$ ). Así, $uR^kv$ si y sólo si $u=v$ . Es sólo la fibra de $J^k(M,N)$ en un punto $p\in M$ que es un cociente de $C^\infty (M,N)$ (y en realidad sería más claro utilizar sólo gérmenes de funciones suaves en $p$ aquí). Describir la fibra de esta manera es un atajo para evitar una descripción algebraica complicada.

El objeto que $C^\infty(M,N)$ se compara en este contexto con el espacio de las secciones $\Gamma(J^k(M,N))$ o $\Gamma(J^\infty(M,N))$ del que es un subespacio (bastante pequeño). Los haces $J^k(M,N)$ o $J^\infty(M,N)$ son, en mi opinión, mejor consideradas como extensiones del haz trivial $M\times N$ (cuyo espacio de secciones es $C^\infty(M,N)$ ). Lo que se hace en la construcción (desde el punto de vista de las funciones suaves) es recoger más información en un punto que sólo el valor. Una de las ventajas de esto es que se pueden ver los operadores diferenciales como funciones suaves definidas en prolongaciones del chorro. Para entenderlo, probablemente sea instructivo ver $k=1$ en detalle. Aquí la fibra sobre $p\in M$ pueden verse como pares $(y,A)$ , donde $y\in N$ en cualquier punto y $A$ es un mapa lineal desde $T_pM$ a $T_yN$ Esto puede verse como una versión formal del valor y la primera derivada en $p$ de una función suave, pero no es necesario definirla como un cociente de $C^\infty(M,N)$ . En principio, se podrían definir haces de chorros superiores de forma similar, pero esto se volvería bastante complicado, ya que las herramientas estándar de la geometría diferencial no están bien adaptadas para tratar las derivadas superiores. El cociente $C^\infty(M,N)/R^k_p$ no es más que una descripción muy eficiente para el espacio de dimensión finita $J_p^k(M,N)$ pero esto sólo funciona en un punto.