Así que voy a demostrar que, para un espacio de medida $(\Omega,\mathcal{A},\mu)$ y secuencias de funciones medibles extendidas de valor real $f_n,g_n$ de $(\Omega,\mathcal{A})$ a la línea real extendida, tal que \begin {Ecuación} \label {1} \tag {1} \lim_ {n \to\infty } f_n = f \text { a.e.}, \quad \lim_ {n \to\infty } g_n = g \text { a.e.}, \quad \forall n \in \mathbb {N}: f_n = g_n \text { a.e.}, \end {Ecuación}
tenemos $f=g$ a.e..
Como intento, dejé que \begin {Ecuación} A := \{ \omega\in\Omega : f( \omega ) = g( \omega )\}, \end {Ecuación}
tal que para \begin {Edición} A_n := \N - en el caso de que se trate de un caso de un hombre. \omega\in\Omega : g_n( \omega ) = f_n( \omega )\}, \end {Ecuación} \begin {Ecuación} B_1 := \{ \omega\in\Omega : lim_{n \to\infty } f_n( \omega ) = f( \omega )\}, \end {Ecuación} \begin {Edición} B_2 := \{ \omega\in\Omega : lim_{n \to\infty } g_n( \omega ) = g( \omega )\}, \end {Ecuación}
tenemos \begin {Ecuación} \left ( \bigcap_ {n=1}^ \infty A_n \right ) \cap B_1 \cap B_2 \subset A, \end {Ecuación}
es decir
\begin {equation} A^c \subset \left [ \left ( \bigcap_ {n=1}^ \infty A_n \right ) \cap B_1 \cap B_2 \right ]^c = \left ( \bigcup_ {n=1}^ \infty A_n^c \right ) \cup B_1^c \cup B_2^c. \end {Ecuación}
Ahora, por la subaditividad de las medidas, y por los supuestos \eqref {1}, $\mu(A^c) = 0$ desde \begin {Ecuación} 0 \leqslant \mu (A^c) \leqslant \sum_ {n=1}^ \infty \mu (A_n)^c + \mu (B_1^c) + \mu (B_2^c) = 0, \end {Ecuación}
por lo que se deduce que $f=g$ a.e.. Sin embargo, como no se da que $(\Omega,\mathcal{A},\mu)$ es un espacio de medidas completo, no sabemos si $A^c\in\mathcal{A}$ Así que $\mu(A^c)$ puede ser indefinido. ¿Qué enfoque sería el adecuado? Gracias de antemano.
