Pruébalo: $$ \int (\cos x)^{2n} \, dx = \frac{\sin x (\cos x)^{2n-1}}{2n} + \frac{2n-1}{2n} \int (\cos x)^{2n-2} \, dx $$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Dejemos que $u = (\cos x)^{2n-1}$ , $dv = \cos x \, dx$ . Entonces $du = -(2n-1)(\cos x)^{2n-2} \sin x dx$ , $v = \sin x$ y obtenemos por la fórmula de integración por partes \begin {align} \int ( \cos x)^{2n} \N dx & = \sin x ( \cos x)^{2n-1} + (2n-1) \int ( \cos x)^{2n-2} ( \sin x)^2 \Ndx \\ & = \sin x ( \cos x)^{2n-1} + (2n-1) \int ( \cos x)^{2n-2} (1-( \cos x)^2) \N- dx \\ & = \sin x ( \cos x)^{2n-1} + (2n-1) \int ( \cos x)^{2n-2} \N dx - (2n-1) \int ( \cos x)^{2n} \N dx \\ \end {align} Poniendo la última integral del lado derecho en el lado izquierdo, obtenemos $$ 2n \int (\cos x)^{2n} \ dx = \sin x (\cos x)^{2n-1} + (2n-1) \int (\cos x)^{2n-2} \ dx \\\ $$ y dividiendo por $2n$ obtenemos la identidad deseada.
Es un truco muy clásico; se repite varias veces por potencias de $\sin$ , $\cos$ , $\tan$ , $\sec$ , $\csc$ y $\cot$ Se llaman fórmulas de recursión para integrales. Deberías aprender a probarlas para potencias de otras funciones trigonométricas. Además, en lugar de $2n$ Podrías haber puesto $k \ge 2$ También funciona. Nunca utilicé en mi prueba el hecho de que el exponente de $\cos$ fue incluso Sólo utilicé el hecho de que $2n-2 \ge 0$ o, en otras palabras, que $k \ge 2$ ; pero los casos $k=1$ y $k=0$ son evidentes, por lo que esta fórmula no es necesaria en esos casos.
Espero que eso ayude,
