Expansión exacta de funciones

Question

Demostrar que para cualquier función dos veces diferenciable $f: {R}^n \to R$ ,

$f(y) = f(x) + \nabla f(x)^T (y-x)+ \frac{1}{2} (y-x)^T \nabla^2f(z)(y-x) $ , para algunos $z$ en el segmento de línea $[x, y]$ . Nótese que no es una aproximación, es una igualdad exacta.

Answer 1

Aquí hay un truco. Toma $\gamma(t) = t x + (1 - t) y$ . Pensemos en la función $g(t) = f \circ \gamma(t)$ la expansión de Taylor para esta función de una sola variable sobre $t = 0$ parece

$$ g(t) = g(0) + t g'(0) + \frac{t^2 }{2} g''(s) $$ para algunos $s \in (0,t)$ . Tenga en cuenta que $g(1) = f \circ \gamma(1) = f(y), g(0) = f(x)$ . El $g', g''$ se pueden encontrar los términos utilizando la regla de la cadena.