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Diámetro de una elipse en un ángulo

Una elipse estándar con semieje mayor $a$ , semiprofesional $b$ tiene un "diámetro" de $2a$ en una dimensión ( $\phi=0$ ) y $2b$ en el otro ( $\phi=\pi/2$ ). ¿Existe una función para encontrar el diámetro para un ángulo arbitrario $\phi$ ? Por "diámetro" me refiero a la distancia entre dos tangentes paralelas perpendiculares a $\phi$ . En términos cotidianos, ¿cuál es la anchura de la sombra proyectada por una elipse vista desde cualquier ángulo?

Pregunta secundaria relacionada: ¿cuál es el término matemático adecuado para lo que quiero decir con "diámetro" arriba; proyectar la sombra de la elipse en 1D y encontrar la longitud?

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amd Puntos 2503

Esto es bastante fácil de resolver si se utilizan coordenadas homogéneas de puntos y líneas y una matriz para representar la elipse, y luego se trabaja con la cónica dual. Fijando $\mathbf x=(x,y,1)^T$ podemos escribir la ecuación de su elipse de posición estándar como $\mathbf x^TC\mathbf x=0$ , donde $C=\operatorname{diag}(1/a^2,1/b^2,-1)$ . (Multiplíquelo usted mismo para comprobarlo.) Al mismo tiempo, al establecer $\mathbf l=(a,b,c)^T$ la ecuación general $ax+by+c=0$ de una línea se puede escribir $\mathbf l^T\mathbf x=0$ es decir, las líneas también pueden representarse como vectores de números reales. Una de las principales ventajas de esta representación, en mi opinión, es que no hay casos especiales de los que preocuparse. Las líneas verticales, que suelen ser problemáticas si se basan en la pendiente, tienen cabida en este marco sin problemas.

Ahora bien, si $C$ es la matriz de una cónica no degenerada, entonces las líneas tangentes a la cónica satisfacen la ecuación dual $\mathbf l^TC^{-1}\mathbf l=0$ . Además, todas las líneas que tienen una normal que hace un ángulo de $\phi$ con el positivo $x$ -son de la forma $(\cos\phi,\sin\phi,\tau)^T$ donde la distancia con signo de la línea desde el origen viene dada por $\tau$ . Por simetría, entonces, la distancia entre dos tangentes paralelas es $2|\tau|$ . Expandiendo la ecuación dual, tenemos $$\begin{bmatrix}\cos\phi&\sin\phi&\tau\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a^2&0&0\\0&b^2&0\\0&0&-1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\cos\phi\\\sin\phi\\\tau\end{bmatrix} = a^2\cos^2\phi+b^2\sin^2\phi-\tau^2=0,$$ a partir de la cual la distancia entre las dos tangentes es simplemente $$2\sqrt{a^2\cos^2\phi+b^2\sin^2\phi}.$$

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tobias.pal Puntos 31

La ecuación de un eclipse en coordenadas polares

$r(\theta) = \frac {ab} {\sqrt {(b \cos\theta)^2 + (a \sin\theta)^2}}$

Cuando $\theta = 0, r=a$ y cuando $\theta = \frac\pi 2, r = b$

Así que la fórmula que buscas (donde $d = 2r$ ) es

$r(\theta) = \frac {2ab} {\sqrt {(b \cos\theta)^2 + (a \sin\theta)^2}}$

EDIT: entendí mal la pregunta

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user640728 Puntos 1

Mi respuesta anterior era incorrecta, porque utilicé la distancia del punto tangente al origen. Lo que debería haber utilizado es la mayor aproximación de la recta tangente al origen. Por distancia de un punto a una línea la línea

$$Ax+By+C=0$$

enfoques dentro de

$$\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

del origen. Por elipse pendiente de la tangente como parámetro la elipse

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

tiene una línea tangente con pendiente $m$ de

$$y=mx\pm\sqrt{m^2a^2+b^2}\quad\implies\quad mx-y\pm\sqrt{m^2a^2+b^2}=0\,.$$

Sustituyendo se obtiene la distancia al origen de la elipse tangente de

$$\sqrt{\frac{m^2a^2+b^2}{m^2+1}}\,.$$

Simplemente duplicamos lo anterior para encontrar la anchura de la elipse proyectada en el ángulo $\phi$ tal que la pendiente $m=\tan\phi$ :

$$2\sqrt{\frac{a^2\tan^2\phi+b^2}{\tan^2\phi+1}}\,.$$

Observando que $\tan\phi\cos\phi=\sin\phi$ podemos multiplicar el denominador y el numerador por $\cos^2\phi$ para dar:

$$2\sqrt{\frac{a^2\sin^2\phi+b^2\cos^2\phi}{\sin^2\phi+\cos^2\phi}} \\= 2\sqrt{a^2\sin^2\phi+b^2\cos^2\phi}$$ y así eliminar las singularidades en ángulos como $\phi=\frac\pi2$ que eran un artefacto de la parametrización.

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