Si $D$ sea el operador de diferenciación en $V$ . Encuentre $D^*$ .

Question

Dejemos que $V$ sea el espacio vectorial de los polinomios sobre $R$ de grado inferior o igual a igual a $3$ con el espacio del producto interior $(f|g)=\int_{0} ^{1}f(t)g(t) dt$ y que $D$ sea el operador de diferenciación en V. Hallar $D^*$

Intento

Como hice el cálculo fue muy grande, así que voy a explicar lo que hice paso a paso para que digan si me equivoqué o acerté

PASO 1 : Primero consideré una base canónica de $R _{\leq 2} [X]$ es decir $ \{ 1,x,x^2,x^3\}$ . Hice el proceso de Gram-Schmidt para ortogonalizar esta base. El resultado fue

$$ \left\{ 1, x-\frac{1}{2}, x^2-x+ \frac{1}{6}, x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{3}{5}x- \frac{1}{2} \right\}$$

PASO 2: Ortonormalizar esta base, dividiendo cada elemento por su norma (en esta parte puede que me haya equivocado porque daban muchos cálculos). El resultado es

$$ \{ 1, \sqrt{12} \left(x-\frac{1}{2} \right) , \sqrt{180} \left( x^2-x+ \frac{1}{6} \right) , \sqrt{\frac{33600}{18772}} \left( x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{3}{5}x- \frac{1}{2} \right) \}$$

PASO 3: Escribe la matriz de $D$

$$\begin{bmatrix}0&\sqrt{12}&0& \frac{1}{10} \sqrt{\frac{33600}{18772}}\\0&0&2\sqrt{15}& 0\\ 0&0&0& \sqrt{\frac{33600}{33378960}} \\ 0&0&0& 0 \end{bmatrix}$$

PASO 4: La matriz de $D^*$ es la transposición conjugada de la matriz de $D$ (en este caso sólo la transposición) según el corolario:

Dejemos que $V$ sea un espacio de producto interno de dimensión finita, y sea $T$ sea un operador lineal sobre $V$ . En cualquier base ortonormal para $V$ la matriz de $T^*$ es la transposición conjugada de la matriz de $T$ .

¿Al menos la idea es correcta? ¿Hay alguna manera más fácil de hacer este ejercicio?

Answer 1

Sí, la idea es correcta (no he verificado los coeficientes en la ortonormalización).

He aquí un método alternativo: La integración por partes da $$\langle f, Dg \rangle = \int_0^1 f g' dx = f(1) g(1) - f(0) g(0) + \int_0^1 - f' g \,dx = f(1) g(1) - f(0) g(0) + \langle -Df, g \rangle.$$ Así, si podemos encontrar un operador $S$ tal que $\langle S f, g \rangle = f(1) g(1) - f(0) g(0)$ Tendremos $$\langle f, D g \rangle = \langle (S - D) f, g \rangle$$ y por lo tanto $$D^* = S - D .$$

Nota: Hasta aquí, la formulación funciona para todas las funciones en $L^2([0, 1])$ y si ampliamos nuestro espacio para incluir la función delta de Dirac, por definición podemos escribir $S = \delta(t - 1) - \delta(t)$ y por lo tanto $D^* = -D + \delta(t - 1) - \delta(t) .$ )

Para encontrar una fórmula explícita para $S$ buscamos los polinomios $r, s \in V$ tal que $$\langle S f , g \rangle = \langle f(1) r - f(0) s , g \rangle$$ para todos $f , g \in V$ . Por un lado, $\langle S f, g \rangle = \langle D f, g \rangle + \langle f, D g \rangle$ y salvo en el caso de $k = l = 0$ Esto da como resultado $\langle S(x^k), x^l \rangle = 1$ . Por lo tanto, escribir $r = \sum_{i = 0}^3 r_i x^i$ y $s = \sum_{i = 0}^3 s_i x^i$ e integrando contra monomios $f = x^k, g = x^l$ da (para $k > 0$ ) $$1 = \langle S (x^k), x^l \rangle = \langle r, x^l \rangle .$$ Escribir esto en términos de $r_0, r_1, r_2, r_3$ para $l = 0, 1, 2, 3$ y la integración da lugar al sistema $$\pmatrix{1&\frac{1}{2}&\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}&\frac{1}{4}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{4}&\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{5}&\frac{1}{6}&\frac{1}{7}} \pmatrix{r_0\\r_1\\r_2\\r_3} = \pmatrix{1\\1\\1\\1} .$$ La resolución da $$r_0 = -4, r_1 = 60 , r_2 = -180, r_3 = 140 ,$$ así que $r(x) = 4 (35 x^3 - 45 x^2 + 15 x - 1)$ . Un argumento similar (y utilizando ese $\langle S(1), 1 \rangle = 0$ ) da que $s(x) = -4 (35 x^3 - 60 x^2 + 30 x - 4)$ . Al juntar todo, se obtiene $$\boxed{D^* f = -D f + 4 [f(1) (35 x^3 - 45 x^2 + 15 x - 1) - f(0) (35 x^3 - 60 x^2 + 30 x - 4)]} .$$

La matriz del lado izquierdo es la $4 \times 4$ Matriz de Hilbert existe una fórmula general para la inversa de la análoga $n \times n$ lo que significa que podemos escribir una fórmula explícita para el adjunto del operador de diferenciación en el espacio de polinomios de grado $\leq n$ en general $n$ .

Answer 2

Sí, tu idea es correcta, y esta es la forma estándar de encontrar el adjunto de un operador.

Otro intento podría ser utilizar la integración por partes:

\begin {align} \langle f',g \rangle &= \int_0 ^1 f'(t)g(t)\N-, dt \\ &= f(t)g(t) \bigg |_0^1 - \int_0 ^1 f(t)g'(t)\N-\N-, dt \\ &= f(1)g(1) - f(0)g(0) - \langle f,g' \rangle \\ \end {align} Por lo tanto, encontrar un operador $A$ tal que $\langle f,Ag\rangle = f(1)g(1) - f(0)g(0)$ y entonces tendremos $$\langle f',g\rangle = \langle f,(A-D)g\rangle$$

Por lo tanto, el adjunto es $D^* = A-D$ .

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Para encontrar $A$ explícitamente, encontremos un polinomio $p(x) = ax^3+bx^2+cx+d \in \mathbb{R}_{\le 3}[x]$ tal que para todo $f \in \mathbb{R}_{\le 3}[x]$ tiene $$\int_0^1 f(t)p(t)\,dt = f(0)$$ En particular, para $f(x) = 1,x,x^2,x^3$ obtenemos $$1 = \int_0^1 p(t)\,dt = \frac{a}4 + \frac{b}3 + \frac{c}2 + d$$ $$0 = \int_0^1 tp(t)\,dt = \frac{a}5 + \frac{b}4 + \frac{c}3 + \frac{d}2$$ $$0 = \int_0^1 t^2p(t)\,dt = \frac{a}6 + \frac{b}5 + \frac{c}4 + \frac{d}3$$ $$0 = \int_0^1 t^3p(t)\,dt = \frac{a}7 + \frac{b}6 + \frac{c}5 + \frac{d}4$$ Al resolver el sistema se obtiene $p(x) = -140x^3+ 240x^2 -120x +16$ . Del mismo modo, encontramos que el polinomio $q(x) = 140x^3-180x^2 +60x -4$ satisfiels $$\int_0^1 f(t)q(t)\,dt = f(1), \quad\forall f \in \mathbb{R}_{\le 3}[x]$$ Por lo tanto, si establecemos $Ag := (p-q)g$ obtenemos $$\langle f,Ag\rangle = \int_0^1f(t)g(t)(p(t) - q(t))\,dt = f(1)g(1) - f(0)g(0)$$