¿Qué hay de malo en mi cálculo del potencial gravitatorio para una esfera uniforme?

Question

Esto es realmente embarazoso, pero no sé muy bien en qué me estoy equivocando... ¿Por qué es incorrecto este cálculo del potencial gravitatorio dentro de una esfera con distribución uniforme de la masa?

Configurar

Digamos que la esfera tiene masa $M$ y el radio $R$ (y densidad de masa uniforme $\mu$ ), y lo que queremos encontrar es el potencial a cualquier distancia $r$ desde el centro de la esfera, donde $r<R$ . Normalizamos el potencial a cero en el infinito.

Cálculo

El potencial $\phi(r)$ es igual al potencial justo fuera de la esfera, más la diferencia de potencial entre algún punto dentro de la esfera y un punto justo fuera.

$$ \phi(r)=\phi_0-\int_R^r \frac{\mu G}{r}dV $$

(Perdón por usar $r$ para el límite superior de la integral, así como para la variable del integrando. Esperemos que esto no cause confusión).

Ahora hay que averiguar los diferentes aspectos de la ecuación anterior El potencial justo fuera de la esfera es:

$$\phi_0=-\frac{MG}{R}$$

El elemento de volumen diferencial puede expresarse como la superficie de la cáscara esférica de potencial constante por la anchura diferencial de la cáscara: $$dV=4\pi r^2 dr$$ Y un último detalle, la densidad de masa de la esfera: $$\mu=\frac{3M}{4\pi R^3}$$

Utilizando esta información,

$$\phi(r)=-\frac{MG}{R}-\frac{3MG}{R^3}\int_R^r r dr$$

$$\phi(r)=-\frac{MG}{R^3}\left[R^2+\frac{3r^2}{2}-\frac{3R^2}{2}\right]$$

$$\phi(r)=-\frac{MG}{2R^3}(3r^2-R^2)$$

Conclusión:

Este resultado no concuerda con algunos lugares que he visitado, como este que establece que el resultado correcto (en términos de las variables que he utilizado) es

$$\phi(r)=-\frac{MG}{2R^3}(3R^2-r^2)$$

Ambos resultados dan el mismo potencial en $r=R$ obviamente, pero mi resultado empieza a ser ridículo para valores como $r=R/2$ .

La única parte de mi cálculo que me parece incompleta es la primera ecuación, en la que hablo de la diferencia de potencial en los puntos de dentro y fuera de la esfera; no sé si es correcto dividir por $r$ en el integrando... O tal vez he cometido un estúpido error de álgebra en alguna parte.

¿En qué me he equivocado?

Answer 1

Sugerencia: La cuestión en pocas palabras es Teorema de la cáscara de Newton : Para una posición radial determinada $r$ sólo las partes de la masa que están más adentro contribuyen al enlace gravitacional, mientras que los efectos de las partes de la masa que están más afuera se cancelan debido a la simetría esférica.

Por lo tanto, lo más seguro es integrar la energía potencial del centro $r=0$ y hacia afuera. Si se intenta integrar desde fuera y hacia dentro, es fácil que no se eliminen correctamente los efectos de las partes de la masa más alejadas.

Answer 2

No estoy de acuerdo con Qmechanic sobre el núcleo del problema de su cálculo aunque su información sobre el teorema de la cáscara de Newton es correcta.

El problema de tu cálculo radica en tu primera ecuación, que es sencillamente errónea. Lo que usted están haciendo según su ecuación, es calcular y restar de alguna manera el potencial de la cáscara fuera de $r$ . Sin embargo, no es así como se obtiene el potencial en el punto $r$ .

Lo que debe es integrar la fuerza que actúa sobre una masa de prueba $m$ de $R$ a $r$ : $$\Delta\phi=\phi(r)-\phi(R)=-\int_R^r \frac{F_{\rm G}(r')}{m}\,\mathrm{d}r'\,.$$ Aquí, hay que utilizar el hecho mencionado anteriormente de que sólo la masa dentro de $r'$ contribuye a $F(r')$ . Si lo hace, debería obtener el resultado correcto ya indicado en su pregunta.