serie en serie

Question

Dejemos que $\sum_{n=1}^\infty a_n<\infty$ sea una serie convergente compleja

es la serie $\sum_{n=1}^\infty (a_n \cdot \sum_{m=n+1}^\infty a_m)$ ¿Calculable?

gracias por cualquier sugerencia

Answer 1

Esto no es convergente en general.

• Si su serie es absolutamente convergente, entonces efectivamente su nueva serie será también absolutamente convergente, por comparación (esto es sencillo).

• De lo contrario, puede que no lo sea. Consideremos, por ejemplo, la serie alterna dada por el término general $a_n \stackrel{\rm def}{=} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ para $n\geq 1$ . Tenemos que $\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge, pero $$ \sum_{k=n+1}^\infty a_k = \frac{(-1)^{n+1}}{2\sqrt{n}} + o\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) $$ (si no me equivoco) de la que se obtiene $$ \sum_{n=1}^\infty \sum_{k=n+1}^\infty a_n a_k = -\frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \xrightarrow[n\to\infty]{} -\infty $$ en comparación.

Answer 2

Suponiendo que las dos series siguientes son convergentes $$ \sum_{n\geq 1}a_n,\qquad \sum_{n\geq 1}a_n^2 $$ tenemos el siguiente truco de simetría: $$ \sum_{n\geq 1}a_n\sum_{m>n}a_m = \sum_{1\leq n < m}a_n a_m = \sum_{1\leq m < n}a_n a_m = \frac{1}{2}\left[\left(\sum_{n\geq 1}a_n\right)^2-\sum_{n\geq 1}a_n^2\right]. $$