Norma de los ideales en el orden arbitrario del campo numérico

Question

Me pregunto si es cierto que en cualquier orden $\mathcal{O}$ de un campo numérico $K$ la norma ideal (definida por $N(I) = | \mathcal{O}/I|$ es multiplicativo. Estoy leyendo el libro de Cox Números primos de la forma $x^2 +ny^2$ y lo demuestra para ideales propios de campos cuadráticos (es decir, ideales $I$ tal que $\mathcal{O} = \{ \beta \in K | \beta I \subset I\}$ ) que resultan ser los ideales invertibles. Su prueba realmente parece utilizar todas las hipótesis, por lo que mi conjetura (mayormente aleatoria) sería que es falsa (la multiplicidad) en general.

Si es efectivamente falsa, ¿es verdadera para clases especiales de ideales como, por ejemplo, ideales propers en campos numéricos arbitrarios o ideales invertibles, etc.?

Gracias

Answer 1

Dejemos que $R$ sea el anillo $\mathbb{Z}[3i]$ . Esta es una orden en $\mathbb{Q}(i)$ .

Dejemos que $I$ sea el ideal $(3i)$ . Una base para esta sobre $\mathbb{Z}$ es $\{ 9, 3i \}$ .

Tenemos $I^2 = (9)$ . Una base para esta sobre $\mathbb{Z}$ es $\{9, 9i\}$ .

Ahora, $N(I) = 9$ y $N(I^2) = 27$ , por lo que la norma no es multiplicativa.

El ideal primario $(3, 3i)$ es la única "singularidad" de $R$ . Si $J$ es cualquier ideal relativamente primo a $(3,3i)$ entonces $N(J) = N(J \mathcal{O}_K)$ , por lo que la norma es multiplicativa en dichos ideales. Una prueba rápida de este hecho es:

$$ R / J \cong (R / J)[1/3] = R[1/3] / J = \mathcal{O}_K[1/3] / J = (\mathcal{O}_K / J)[1/3] = \mathcal{O}_K / J $$

Sin embargo, $\mathfrak{p} = (3, 3i)$ no comparte una propiedad similar; se "divide" en el ideal primo principal $(3) \subseteq \mathcal{O}_K$ tenemos $R / \mathfrak{p} \cong \mathbb{F}_3$ pero $\mathcal{O}_K / (3) \cong \mathbb{F}_9$ .

Answer 2

Como mencionó Hurkyl, hay contraejemplos fáciles. Pero se puede decir mucho más. Supongamos que $\rm\,D\,$ es un norma finita dominio: todo ideal $\rm\,\ne 0\,$ tiene norma finita $\rm\,|D/I|.\,$ Entonces es fácil demostrar

• la norma es multiplicativa para todos los ideales no nulos de $\rm\,D$ $\!\iff\!$ $\rm\,D\,$ es un dominio Dedekind

Así que la multiplicatividad de la norma falla para dominios de norma finita que no son integralmente cerrados, como en el ejemplo de la respuesta de Hurkyl. Para la prueba sencilla, y un criterio relacionado, véase

Butts, H. S.; Wade, L. I. $\ $ Dos criterios para los dominios Dedekind.
Amer. Math. Monthly 73, 1966, 14-21.