¿Para qué sirve la integral de Dirichlet?

Question

¿Cómo puedo encontrar el valor de

$$\large\int_0^\infty\left(\dfrac{\sin x}x\right)^5dx$$ utilizando las integrales de contorno? Lo he intentado utilizando la integración por partes y he obtenido la respuesta. He estudiado los fundamentos de la integración de contornos...

Además, ¿cómo puedo generalizarlo a lo siguiente? $$\large\int_0^\infty\left(\dfrac{\sin x}x\right)^ndx$$

Answer 1

Uno de los métodos es utilizar la integración por partes...

• Integral de Dirichlet: $$\displaystyle\int_0^\infty \dfrac{\sin x}x \,dx= \dfrac{\pi}2$$

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• $\displaystyle \int_0^\infty \dfrac{\sin^3x}xdx=\dfrac\pi4$ :

Sabemos que $\sin^3x = \dfrac{3\sin x -\sin3x}4$ $$\begin{align*} \int_0^\infty \dfrac{\sin^3x}xdx &=\dfrac14 \int_0^\infty\dfrac{3\sin x}xdx-\int_0^\infty\dfrac{\sin3x}xdx\\&=\dfrac{3\pi}8-\int_0^\infty \dfrac{\sin y}ydy\\&=\dfrac\pi4\end{align*}$$

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• $\displaystyle \int_0^\infty \dfrac{\sin^5x}xdx=\dfrac{3\pi}{16}$

Sabemos que $\sin^5x=\dfrac{\sin 5x +20\sin^3x-5\sin x}{16}$ $$\begin{align*}\int_0^\infty\dfrac{\sin^5x}xdx&=\dfrac1{16}\left[\int_0^\infty \dfrac{\sin5x}xdx+20\int_0^\infty\dfrac{\sin^3x}xdx - 5\int_0^\infty\dfrac{\sin x}xdx\right]\\&=\dfrac1{16}\left[\dfrac \pi 2 + 5\pi - \dfrac{5\pi}2\right]\\&=\dfrac{3\pi}{16}\end{align*}$$

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• Como la integración por partes es de $0\to\infty$ podemos ignorar el término $uv$ en $$\int u\,dv=uv-\int v\,du$$

Por lo tanto, podemos utilizar lo siguiente aquí (no en todas partes). Se puede utilizar aquí porque $$\lim_{x\to\infty}\int v(x)dx = \lim_{x\to\infty}\dfrac 1{x^n}=0 \text{, for some }n > 0 $$ y $$u(0)=\sin 0=0$$ Así que, $$\int_0^\infty u(x)v(x)dx = -\int_0^\infty \left(u'(x)\int v(x)dx\right)dx$$

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• $\displaystyle\int_0^\infty \dfrac{sin^3x}{x^3}dx = \dfrac{3\pi}8$

$$\displaystyle\begin{align*}\int_0^\infty \dfrac{\sin^3x}{x^3}dx&=\dfrac32\int_0^\infty\dfrac{\sin^2x\cos x}{x^2}dx\\&=\dfrac32\int_0^\infty\dfrac{2\sin x\cos^2x-sin^3x}xdx\\&=\dfrac32\left[2\int_0^\infty\dfrac{\sin x}xdx-3\int_0^\infty\dfrac{\sin^3x}xdx\right]\\&=\dfrac32\left(\pi-\dfrac{3\pi}4\right)\\&=\dfrac{3\pi}8\end{align*}$$

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¡Hagamos Partes! $$\begin{align*} \int_0^\infty \left( \frac{\sin x}x \right)^5 \, dx &=\dfrac 54 \int_0^\infty \dfrac{\sin^4x\cos x}{x^4}dx\\&=\dfrac5{12} \int_0^\infty \dfrac{4\sin^3x\cos^2x-\sin^5x}{x^3}dx\end{align*} $$ Utilizando $\cos^2x=1-\sin^2x$$$\begin {align*} \int_0 ^ \infty \left ( \frac { \sin x}x \right )^5 \N, dx&= \dfrac5 {12} \left [ \int_0 ^ \infty \dfrac {4 \sin ^3x}{x^3}dx- \int_0 ^ \infty \dfrac {5 \sin ^5}{x^3}dx \right ] \end {align*} $$ Using $\displaystyle\int_0 ^ \infty \dfrac {sin^3x}{x^3}dx = \dfrac {3 \pi }8 $, $$\begin {align*} \int_0 ^ \infty \left ( \frac { \sin x}x \right )^5 \N, dx&= \dfrac {5 \pi }8- \dfrac {25}{12} \int_0 ^ \infty \dfrac { \sin ^5x}{x^3}dx \end {align*} $$ Repeating the Integration By Parts again, $$\begin {align*} \int_0 ^ \infty \left ( \frac { \sin x}x \right )^5 \N, dx&= \dfrac {5 \pi }{8}- \dfrac {125}{24} \left [ \int_0 ^ \infty \dfrac {4 \sin ^3x}xdx- \int_0 ^ \infty \dfrac {5 \sin ^5x}xdx \right ] \end {align*} $$

Utilizando $\displaystyle \int_0^\infty \dfrac{\sin^3x}xdx=\dfrac\pi4$ y $\displaystyle \int_0^\infty \dfrac{\sin^5x}xdx=\dfrac{3\pi}{16}$

Así que, $$ \int_0^\infty \dfrac{4\sin^3x}xdx- \int_0^\infty \dfrac{5\sin^5x}xdx =\pi-\dfrac{15\pi}{16}= \dfrac{\pi}{16}$$

$$\begin{align*} \Rightarrow\int_0^\infty \left( \frac{\sin x}x \right)^5 \, dx&=\dfrac{5\pi}8-\dfrac{125\pi}{24\times16}\\&=\dfrac{115\pi}{384}\end{align*} $$

$$\displaystyle\Huge \therefore\boxed{\int_0^\infty \left( \frac{\sin x}x \right)^5 dx =\dfrac{115\pi}{384}}$$

Answer 2

SUGERENCIA:

Aquí sólo ofrecemos un esbozo del enfoque para evaluar la integral de interés utilizando la integración de contornos.

Paso 1: En primer lugar, observe que $\frac{\sin z}{z}$ es una función par. Por lo tanto,

$$\int_0^\infty\frac{\sin^5 x}{x^5}\,dx=\frac12 \int_{-\infty}^\infty\frac{\sin^5 x}{x^5}\,dx$$

Paso 2: Utilice la identidad de Euler junto con el teorema del binomio para escribir

$$\sin^5 x=\frac{e^{i5z}}{32i}\,\sum_{k=0}^5\binom{5}{k}(-1)^k\,e^{-i2kz}$$

Paso 3: Nota para $n>0$ ( $n<0$ ) tenemos por el teorema del residuo

$$\begin{align} \oint_C \frac{e^{inz}}{z^5}\,dz&=\text{sgn}(n)\,2\pi i \text{Res}\left(\frac{e^{inz}}{z^5},z=0\right)\\\\ &=2\pi i \text{sgn}(n) \left(\frac{n^4}{4!}\right) \end{align}$$

donde $C$ es un contorno formado por (i) los segmentos de línea real de $(-R,0)$ a $(-\epsilon,0)$ y de $(\epsilon,0)$ a $(R,0)$ (ii) un semicírculo en el plano medio inferior (medio superior), centrado en el origen con radio $\epsilon$ y (iii) un semicírculo en el plano medio superior (medio inferior), centrado en el origen con radio $R$ .

A continuación, observe, por último, que

$$\lim_{R\to \infty}\lim_{\epsilon \to 0}\oint_C\frac{e^{inz}}{z^5}\,dz=\text{PV}\left(\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{inx}}{x^5}\,dx\right)+\text{sgn}(n)\pi i \frac{n^4}{4!}$$

El resto debería ser sencillo.