En $S(\rho_{AB})=S(\rho_A)+S(\rho_B)$ implican que $\rho_{AB}=\rho_A\otimes\rho_B$ ?

Question

Dejemos que $\rho_{AB}$ $\in$ $\mathbb{H_A} \otimes \mathbb{H_B}$ sea un operador de densidad con operadores de densidad reducidos $\rho_A = tr_B[\rho_{AB}]$ y $\rho_B = tr_A[\rho_{AB}]$ . Asumo que la Entropía von Neumann de $\rho_A$ es la misma que la Entropía de von Neumann de $\rho_B$ , $S(\rho_A) = S(\rho_B)$ . Ahora, si tengo una expresión como esta $$S(\rho_{AB})=S(\rho_A)+S(\rho_B)$$ ¿significa esto que $\rho_{AB}$ tiene que ser el producto tensorial de sus marginales, por lo que $\rho_{AB}=\rho_A \otimes \rho_B$ ?

La razón por la que pienso así es, ya que tengo la misma cantidad de información en ambos lados de la expresión escrita anteriormente, y la información mutua entre los subsistemas $A$ y $B$ , $I(A:B)=S(\rho_{AB}||\rho_A \otimes \rho_B)=tr[\rho_{AB}(\log (\rho_{AB})-\log(\rho_a \otimes\rho_B))]$ es cero si $\rho_{AB}=\rho_A \otimes \rho_B$ .

Answer 1

Sí. Más detalladamente, para cualquier operador de densidad $\rho_{AB}$ , uno tiene que $$ S(\rho_{AB}) \leq S(\rho_A)+ S(\rho_B) $$ con igualdad si y sólo si $\rho_{AB} = \rho_A\otimes\rho_B$ . Esto se deduce de la prueba habitual de la subaditividad y de la aplicación de La desigualdad de Klein que establece que $$ S(\rho\Vert\sigma)\geq0 $$ para todos los operadores de densidad $\rho$ y $\sigma$ con igualdad si y sólo si $\rho=\sigma$ y donde $S(\rho\Vert\sigma)$ es la entropía relativa definida como $$ S(\rho\Vert\sigma) = \mathrm{Tr}(\rho\log\rho)-\mathrm{Tr}(\rho\log\sigma). $$ Ahora, el ajuste $\rho=\rho_{AB}$ y $\sigma=\rho_A\otimes\rho_B$ tenemos \begin {align*} S( \rho_ {AB}) =- \mathrm {Tr}( \rho\log\rho ) & \leq - \mathrm {Tr}( \rho\log\sigma ) \\ &=- \mathrm {Tr} \bigl ( \rho_ {AB} \bigl (( \log\rho_A ) \otimes I_B+I_A \otimes ( \log\rho_B ) \bigr ) \bigr ) \\ &=- \mathrm {Tr}( \rho_ {A} \log\rho_A )- \mathrm {Tr}( \rho_B\log\rho_B )) \\ &=S( \rho_A )+S( \rho_B ), \end {align*} donde la desigualdad de la primera línea se deduce de la desigualdad de Klein, y la igualdad se mantiene si y sólo si $\rho=\sigma$ .