Problemas con la notación $I:J^{\infty}$

Question

No estoy seguro de haber entendido bien esta notación. La definición dice, para un anillo $R$ con $I,J$ ideales de $R$ definimos $I:J^{\infty}=\cup_{i=1}^{\infty} I:J^i$ . Ahora, $I:J$ es el conjunto de elementos de $R$ que multiplican $J$ en $I$ . Así que, $I:J^{i+1} \subseteq I:J^i$ y por lo tanto $I:J^{\infty}=I:J$ . Por supuesto, esto es incorrecto, de lo contrario no necesitaríamos una nueva definición, pero no veo mi error. Agradecería cualquier ayuda para encontrar mi error. Gracias

Answer 1

HINT $\: $ reciprocante invierte contenciones $\rm\ \ J \supset K\ \Rightarrow\ I:J\: \subset\: I:K\ \ $ a través de $\rm\ \ J\ r \subset I\ \Rightarrow\ K\ r\subset I$