Convergencia de series de cocientes de funciones gamma

Question

Estoy interesado en determinar si la siguiente serie converge:

$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\Gamma(k+2\delta)}{\Gamma(k+1)} \;,$$ donde $\delta > 0$ es un número real y la función gamma está definida por $$\Gamma(\alpha) = \int_0^{\infty} x^{\alpha-1} e^{-x} \, dx \;,$$ para $\alpha > 0$ . Cualquier idea al respecto será muy apreciada.

Answer 1

Para $\delta>0$ y $k\geq1$ tenemos $\Gamma(k+2\delta)>\Gamma(k)>0$ y $\Gamma(k+1)>0$ Así que $$\frac{\Gamma(k+2\delta)}{\Gamma(k+1)}>\frac{\Gamma(k)}{\Gamma(k+1)}=\frac1k.$$ Se deduce que la serie diverge porque la serie armónica diverge.