Supongamos que el cuadrilátero $ABCD$ es un paralelogramo y su área es $S$ . Y satisfacen las siguientes condiciones: $AE=BE$ , $BF=FC$ , $AQ // PC$ . Hallar el área del cuadrilátero $APCQ$
Respuestas
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Has probado un caso especial y puedes obtener alguna pista de él. Para calcular el área de $APCQ$ Podemos dividirlo en dos partes: $\triangle{APQ}$ y $\triangle{CPQ}$ . Sea el punto de intersección de la línea $(ED)$ y la línea $(BC)$ sea $T$ . Por el teorema de Menelao tenemos $\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BT}{TF} \cdot \frac{FP}{PA}=1$ ya que $E,F$ son puntos medios, podemos obtener que $\frac{FP}{PA}=\frac{3}{2}$ . Sea el punto de intersección de la línea $(CP)$ y la línea $(AB)$ sea $S$ . Aplicando de nuevo el teorema de Menelao podemos obtener $\frac{AS}{SB} \cdot \frac{BC}{CF} \cdot \frac{FP}{PA}=1$ lo que implica que $\frac{AS}{SB}=\frac{1}{3}$ . Como E es el punto medio del segmento $AB$ , $S$ es el punto medio de $AE$ . Como $AQ \parallel CS$ , $P$ es el punto medio de $EQ$ . El resto es un simple cálculo que puedes probar por ti mismo. La respuesta debería ser la misma que se obtiene en el caso especial.
A.Chakraborty
Puntos
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Supongamos que el origen del sistema de coordenadas es $B$ . por lo que la coordenada del punto $B$ es $(0,0)$ . Y el $x$ -ejes es $BC$ . Supongamos que la coordenada del punto $A$ es $(2a,2b)$ . La coordenada del punto $C$ es $(2c,0)$ . Entonces podemos calcular las coordenadas de otros puntos. $E$ es $(a,b)$ , $F$ es $(c,0)$ $D$ es $(2c+2a, 2b)$ .
Entonces la ecuación de la recta $AF$ es $$y=\frac{-2b}{c-2a}(x-c)$$
la ecuación de la línea recta $ED$ es $$y-b=\frac{b}{2c+a}(x-a)$$
por lo que la coordenada del punto $P$ es $(\frac{2}{5}(3a+c),\frac{6}{5}b)$
entonces la ecuación de la recta $AQ$ es $$y-2b=\frac{3b}{3a-4c}(x-2a)$$
entonces la coordenada del punto $Q$ es $(\frac{4c+7a}{5},\frac{7}{5}b)$
entonces $$|PQ|=\sqrt{\left(\frac{b}{5}\right)^2+\left(\frac{a}{5}+\frac{2c}{5}\right)^2}$$
y $$|ED|=\sqrt{b^2+(2c+a)^2}$$
entonces sabemos $|ED| = 5\times |PQ|$
entonces $S_{APCQ} = \frac{1}{5}S_{AECD}$ Supongamos que el área de $ABCD$ es $S$ . el área de $AECD$ es $\frac{3}{4}S$ . Así que $S_{APCQ}= \frac{3}{4}S \times \frac{1}{5} = \frac{3}{20}S$
