Matriz recíproca positiva para demostrar $λ_{max⁡}=n$

Question

Supongamos que tenemos $n\times n$ matriz $A$ que sólo tiene elementos positivos y satisface la propiedad $a_{ij}=1/a_{ji}$ (una matriz que satisface esta propiedad se llama matriz recíproca).

Si su mayor valor propio $λ_{max}$ es igual a $n$ entonces la matriz $A$ satisface la propiedad (propiedad de consistencia) $a_{ij}a_{jk}=a_{ik}$ donde $i,j,k=1,2,...,n$ .

---

Ya he encontrado un ejemplo de $5\times 5$ matriz recíproca para mostrar esta condición:

\begin {bmatrix}1&1/2&1&1&1/4 \\2 &1&2&2&1/2 \\1 &1/2&1&1&1/4 \\1 &1/2&1&1&1/4 \\4 &2&4&4&1 \end {bmatrix}

Tiene una ecuación característica simple $λ^5-5λ^4=0$ por lo que los valores propios de la matriz $A$ son $λ=0$ y $λ=5$ y se ha demostrado que $λ_{max}=n=5$ .

¿Hay alguien que pueda ayudarme a dar otro ejemplo de matriz recíproca positiva que tenga una ecuación característica simple y un número entero como sus valores propios ( $4\times 4, 5\times 5$ o $6\times 6$ matriz)?

Answer 1

$$\pmatrix{1&2&3&4\cr1/2&1&3/2&2\cr1/3&2/3&1&4/3\cr1/4&1/2&3/4&1\cr}$$

Answer 2

Si $A$ es una matriz recíproca, entonces $D^{-1}AD$ es también una matriz recíproca para cualquier matriz diagonal positiva $D$ . Ahora, supongamos que $\rho(A)=n$ . Por el teorema de Perron-Frobenius, $A$ posee un vector propio positivo $u$ para el valor propio $n$ . Denote por $D$ la matriz diagonal cuya diagonal es $u$ . Entonces $Au=nu$ equivale a $Be=ne$ , donde $B=D^{-1}AD$ es una matriz recíproca y $e$ es el vector de unos.

De ello se desprende que $e^TBe-n^2=0$ . Es decir, $\sum_{i<j}\left(\sqrt{b_{ij}}-\frac1{\sqrt{b_{ij}}}\right)^2=0$ . Por lo tanto, $b_{ij}=1$ para todos $i,j$ o $B=ee^T$ .

Por lo tanto, $A=Dee^TD^{-1}$ es decir $A=uv^T$ , donde $v$ es el recíproco de entrada del vector positivo $u$ . Es sencillo demostrar que cada uno de esos $A$ satisface la condición de que $a_{ij}a_{jk}=a_{ik}$ .