Si $f<1$, $f(0)^2 + f'(0)^2=4$, existe s.t. de $x_0$$f''(x_0) + f(x_0)=0$

Question

Supongamos $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es $C^2$, $f < 1$ para todos los $x$, e $f(0)^2 + f'(0)^2=4$. Mostrar que $\exists x_0$ s.t. $f''(x_0) + f(x_0)=0$.

Hasta ahora, he dejado a $\phi(x) = f(x)^2 + f'(x)^2$. A continuación, $$\phi'(x) = 2f(x)f'(x) + 2f'(x)f''(x) = 2f'(x)(f(x) + f''(x)).$ $

Así que necesitamos para mostrar que hay un punto crítico de $\phi$ que no es un punto crítico de $f$. Creo que esto se supone que debe ser un ejercicio en el valor medio teorema, pero no sé donde encontrar otro valor de $\phi(x)$.

Alguna idea?

(Este es un problema de un profesor de la serie de notas, así que por supuesto no podría tratarse de un error tipográfico. Podría ser que $|f|<1$ es lo que quería decir, por ejemplo?)

Answer 1

$f\equiv -2$ es un contraejemplo. Así debe ser una restricción adicional. Voy a publicar esto como un wiki, en caso de que nadie puede resolverlo, dada una restricción razonable.