Encontrar constantes con una función continua a trozos

Question

Dejemos que $$f(x) = \begin{cases}\frac{3x^{2}+ax+a+3}{x^{2}+x-2}, & x \neq -2 \\ b & x= -2 \end{cases}$$

Dado que $f(x)$ es continua en $x=-2$ , encontrar $a$ y $b$ .

Arriba está el problema en el que estoy trabajando. Con mis limitados conocimientos, sé por esto que $$\lim\limits_{x \to -2} f(x)=f(-2)=b$$

Y también sé que porque se da que $f(x)$ es continua en $x=-2$ , $$\lim\limits_{x \to -2} \frac{3x^{2}+ax+a+3}{x^{2}+x-2}=b$$

Pero aquí es donde me deshago. Parece que no puedo dar el salto. No quiero pasar por el dolor de adivinar y comprobar. Acabamos de ser introducidos a los límites en el curso que estoy haciendo ahora y estoy inseguro en cuanto a cómo avanzar con este problema.

He intentado seguir el hilo del pensamiento:

$$\lim\limits_{x \to -2} \frac{3x^{2}+ax+a+3}{x^{2}+x-2}=b$$ $$=\lim\limits_{x \to -2} \frac{3x^{2}+ax+a+3}{(x+2)(x-1)}$$ $$=\lim\limits_{x \to -2} \frac{3(x^{2}+1)+a(x+1)}{(x+2)(x-1)}$$

Pero luego me pierdo y me confundo de nuevo. Me siento como un poco tonto en este momento. Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Obsérvese que el denominador se aproxima a $0$ como $x\to -2$ . Así que como $x\to -2$ el numerador debe acercarse a $0$ si no, el límite no podría existir.

Pero como $x\to -2$ el numerador se aproxima a $3(-2)^2+(-2)a+a+3$ . Esto es $0$ Así que $a=15$ .

Encontrando $b$ queda en sus manos. Como pista, el numerador, con $a$ sustituido por $15$ debe ser divisible por $x+2$ . Haz la división.

Answer 2

Vale, siempre que el denominador vaya a $0$ para $x\to -2$ y el nominador no, la cosa va hasta el infinito, más o menos. Así que lo que tienes que hacer, es encontrar un valor para $a$ tal que el nominador tiene la forma $(x+2).....$ entonces los factores se cancelan y se obtiene un límite finito como $x\to -2$ . Y entonces ya casi ha terminado ;-).

Answer 3

Por comodidad, dejemos que $g(x) = 3x^2+ax+a+3$ . Tenga en cuenta que si $g(-2) \neq 0$ , entonces el límite $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2} \frac{g(x)}{(x+2)(x-1)}$ no existe. Pero como el límite existe, debemos tener $g(-2) = 0$ . Esto implica que $a = 15$ .