Anillo de cociente y PID

Question

Es $ \ \mathbb{Q}[x] / ((x-1)^{2}) $ un dominio Ideal Prinicipal y un dominio Euclidiano ? $$ $$ He intentado de esta manera- Desde $ \mathbb{Q}[x] /(x-1)^{2} \sim \mathbb{Q} [x]/(x) $ . También lo es un PID. No estoy seguro de ello. Cualquier ayuda es apreciada

Answer 1

$\mathbb{Q}[x] / ((x-1)^{2})$ no es un PID porque ni siquiera es un dominio.

Sin embargo, todos sus ideales son principal porque corresponden a los ideales de $\ \mathbb{Q}[x]$ que contienen $((x-1)^{2})$ .

Por lo tanto, $\mathbb{Q}[x] / ((x-1)^{2})$ es un ideal principal anillo .

Answer 2

Todos los PID y los dominios euclidianos son también dominios integrales $^\dagger$ . Así que si $\mathbb{Q}[x]/\langle (x-1)^2 \rangle$ es un ejemplo de estos, entonces no deberíamos ser capaces de encontrar dos elementos no nulos que se multipliquen a cero.

Pero el polinomio que genera el ideal por el que estamos modificando es reducible. Teniendo esto en cuenta, ¿puedes encontrar dos elementos no nulos que se multipliquen para dar cero en el anillo cotizante?

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Si tuviéramos $\mathbb{Q}[x]/ \langle (x-1)^2 \rangle \cong \mathbb{Q}[x]/\langle x \rangle$ , entonces este último es un campo y tendrías razón (todos los campos son dominios euclidianos y PID). Por desgracia, esto no puede ser cierto ya que $F[x]/ \langle f(x) \rangle$ es un campo $\iff f(x)$ es irreducible sobre $f$ (pulse aquí para más información). En este escenario, $x$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ pero $(x-1)^2$ no lo es.

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$\dagger$ En la parte inferior de los párrafos introductorios encontrará un útil conjunto de inclusiones aquí . Intenta probar algunos de ellos. :)