Son la familia de funciones agradables dadas $f\subset C^0(I,[0,1])$ ¿equicontinuo?

Question

La familia de continuo , acotado (en $[0,1]$ ) funciones $f\in\mathcal{F}$ se definen en un subconjunto cerrado de números reales $I\subset\mathbb{R}$ de la siguiente manera:

\begin {Ecuación} f(y) = \begin {casos} 0, & \hat {l}(y)< \rho \\ \kappa (y), & \hat {l}(y)= \rho\\ 1, & \hat {l}(y)> \rho \end {casos} \end {Ecuación}

$\rho\in(0,1)$ es un número real, $\kappa$ es una función de $I$ a $[0,1]$ tal que $f$ sigue siendo continua, $\hat{l}$ es una función positiva de un conjunto de funciones $\mathcal{L}$ en $I$ para el que se sabe que $\mu(\{y:\hat{l}(y)<\rho\})>0$ , $\mu(\{y:\hat{l}(y)>\rho\})>0$ y $\mu(\{y:\hat{l}(y)=\rho\})>0$ para la medida de Lebesgue $\mu$ .

Pregunta: ¿Es la familia de funciones $\mathcal{F}$ ¿equicontinuo?

Parece que $$||f||_\infty =\max_{y\in I} f(y)$$ es verdadera y es igual a $1$ . Desde $f$ está acotado supongo que $\mathcal{F}$ sería compacta con respecto a la norma del infinito.

Si $\mathcal{F}$ es compacto, entonces debe ser también equicontinuo pero no estoy seguro de que sea realmente compacto.

Si la respuesta fuera negativa, ¿es posible tomar $\kappa$ como una función creciente de $l$ para obtener una respuesta positiva para

\begin {Ecuación} \hat {l}(y) = \begin {casos} l(y)/a, &l(y)<a \\ \rho , & a \leq l(y) \leq b \\ l(y)/b, & l(y)>b \end {casos} \end {Ecuación}

$a<1$ , $b>1$ son algunos números y $l=g_1/g_0$ es la relación de dos funciones de densidad no idénticas en $I$ .

Answer 1

Puede que haya entendido mal la definición de $\mathcal{F}$ . Pero a mí me parece que puedo elegir $\rho=1/4$ y

$$l(x) = \begin{cases} x & x \in [0,1/4] \\ 1/4 & x \in [1/4,3/4] \\ 1/4 + (x-3/4) & x \in [3/4,1] \end{cases}$$

A partir de ahora $[1/4,3/4]$ Puedo elegir arbitrariamente $\kappa$ siempre y cuando $\kappa(1/4)=0$ y $\kappa(3/4)=1$ . Pero eso significa que puedo elegir $\kappa$ como restringido a $[1/3,2/3]$ de forma totalmente arbitraria, y $C^0([1/3,2/3])$ no es equicontinuo.

Pero creo que entiendo mal la definición, porque bajo esta interpretación $\| f \|_\infty$ puede ser arbitrariamente grande. (Por ejemplo, con el $l$ arriba, el intermedio $\kappa$ puede ser $M(4x-1)+(1-M)(4x-1)(4x-2)/2$ para cualquier $M>0$ .) Creo que hay una hipótesis implícita o no enunciada (quizás que $f$ están aumentando o algo así).