La familia de continuo , acotado (en $[0,1]$ ) funciones $f\in\mathcal{F}$ se definen en un subconjunto cerrado de números reales $I\subset\mathbb{R}$ de la siguiente manera:
\begin {Ecuación} f(y) = \begin {casos} 0, & \hat {l}(y)< \rho \\ \kappa (y), & \hat {l}(y)= \rho\\ 1, & \hat {l}(y)> \rho \end {casos} \end {Ecuación}
$\rho\in(0,1)$ es un número real, $\kappa$ es una función de $I$ a $[0,1]$ tal que $f$ sigue siendo continua, $\hat{l}$ es una función positiva de un conjunto de funciones $\mathcal{L}$ en $I$ para el que se sabe que $\mu(\{y:\hat{l}(y)<\rho\})>0$ , $\mu(\{y:\hat{l}(y)>\rho\})>0$ y $\mu(\{y:\hat{l}(y)=\rho\})>0$ para la medida de Lebesgue $\mu$ .
Pregunta: ¿Es la familia de funciones $\mathcal{F}$ ¿equicontinuo?
Parece que $$||f||_\infty =\max_{y\in I} f(y)$$ es verdadera y es igual a $1$ . Desde $f$ está acotado supongo que $\mathcal{F}$ sería compacta con respecto a la norma del infinito.
Si $\mathcal{F}$ es compacto, entonces debe ser también equicontinuo pero no estoy seguro de que sea realmente compacto.
Si la respuesta fuera negativa, ¿es posible tomar $\kappa$ como una función creciente de $l$ para obtener una respuesta positiva para
\begin {Ecuación} \hat {l}(y) = \begin {casos} l(y)/a, &l(y)<a \\ \rho , & a \leq l(y) \leq b \\ l(y)/b, & l(y)>b \end {casos} \end {Ecuación}
$a<1$ , $b>1$ son algunos números y $l=g_1/g_0$ es la relación de dos funciones de densidad no idénticas en $I$ .
