Producto interior en polinomios sobre campo de números complejos

Question

Estoy jugando con el más simple de los espacios vectoriales polinómicos - los polinomios de Legendre (¡espero que tenga el nombre correcto! :-) donde $\langle P,Q\rangle = \int_{-1}^{+1}P(x)Q(x)dx$

Esto es sencillo siempre que me limite a los números reales.

Pero el primer axioma de un producto interior es que $\langle A,B\rangle = \operatorname{conjugate}(\langle B,A\rangle)$ . He comprobado (con papel y bolígrafo - un tipo pintoresco, ¿eh? :-) que esto funciona bien si mis vectores son n-tuplas de números complejos sobre el campo de $ℂ$ , $ℂ^n/ℂ$ . Pero cuando mis vectores son polinomios [con coeficientes reales y complejos] ¿cómo defino siquiera el conjugado de mi vector? Ya he determinado que conjugar los coeficientes complejos hace no producir un polinomio que satisfaga ese primer axioma.

También puede que me esté desviando y que definir el conjugado de dicho vector ni siquiera sea un requisito para producir una operación que se ajuste a ese axioma.

¿Corrección del rumbo, por favor?

Answer 1

Gerry,

Su afirmación directa de que "En el caso complejo, $P\cdot Q=\int_{-1}^1P(x)Q_*(x)\,dx$ debería funcionar, donde $Q_*$ es lo que se obtiene al tomar el conjugado complejo de los coeficientes" me hizo reexaminar intensamente mi código Perl y descubrí dos errores flagrantes:

1. La función de conjugado de polinomios calculaba el conjugado pero devolvía el objeto original.

2. El programa de prueba esperaba el valor original en lugar del conjugado.

Así que mis errores, en un código de hace meses, se anularon entre sí. La nueva función de producto interno que estoy escribiendo no cayó en esa trampa y me llamó la atención.

En resumen: Efectivamente, Gerry, ahora funciona tan bien que, en la aritmética FP de 64 bits, hay una coincidencia del 100% entre $\int_{-1}^1P(x)\overline Q(x)\,dx$ y $(\int_{-1}^1Q(x)P(x)\,dx)_*$

(Por cierto, estoy usando $_*$ para indicar esa última conjugación porque no acabo de entender lo de la sobrelínea sobre toda la expresión entre paréntesis).

Gracias Gerry, por esa "molestia". Y a JCS por iniciarme en la sintaxis correcta de las expresiones matemáticas en los comandos de TeX.

-- JS