Puntos aislados del cierre de un conjunto

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico y $A \subset X$ . Por $cl(A)$ Me refiero al cierre de $A$ .

Sé que cualquier punto aislado de $cl(A)$ es un punto aislado de $A$ . Una prueba está aquí : https://proofwiki.org/wiki/Isolated_Point_of_Closure_is_Isolated_Point_of_Subspace

Ahora bien, ¿es también cierto que cualquier punto aislado de $A$ es un punto aislado de $cl(A)$ ? Si no es en general, ¿es al menos cierto en algunos espacios $X$ ?

Answer 1

Es cierto en todos $T_1$ espacios. Supongamos que $x$ es un punto aislado de $A$ entonces hay un $U\subseteq X$ tal que $U\cap A=\{x\}$ . Sea $y\in U\setminus\{x\}$ ; si $X$ es $T_1$ , $U\setminus\{x\}$ es un nbhd abierto de $y$ disjunta de $A$ Así que $y\notin\operatorname{cl}A$ . Así, $U\cap\operatorname{cl}A=\{x\}$ y $x$ sigue aislado en $\operatorname{cl}A$ .

Puede fallar si $X$ no es $T_1$ . Sea

$$\tau=\{\varnothing\}\cup\{U\subseteq\Bbb N:0\in U\text{ and }\Bbb N\setminus U\text{ is finite}\}\;.$$

$\tau$ es un $T_0$ topología en $\Bbb N$ que no es $T_1$ . Sea $A=\{0\}$ Ciertamente $0$ es un punto aislado de $A$ pero $\operatorname{cl}A=\Bbb N$ y $0$ no está aislado en $\Bbb N$ .