Así que estoy tratando de demostrar que el anillo de funciones regulares sobre un conjunto algebraico afín forma una gavilla. No tengo ningún problema en demostrar que forman una gavilla, eso está claro, pero las dos cosas adicionales que tienes que demostrar las encuentro particularmente molestas. Citando a Hartshorne, p. 61:
(4) si $U$ es un conjunto abierto, si $\{ V_i \}$ es una cobertura abierta de $U$ y si tenemos elementos $s_i \in \mathcal{F}(V_i)$ para cada $i$ con la propiedad de que para cada $i,j$ , $s_i |_{V_i \cap V_j} = s_j |_{V_i \cap V_j}$ entonces hay un elemento $s \in \mathcal{F}(U)$ tal que $s|_{V_i} = s_i$ .
Me parece justo, sólo para luego plantear la pregunta, ¿qué pasa si el solapamiento entre los diferentes $V_i$ ¿son siempre el conjunto vacío? Después de todo, ¿hay algo convincente $U$ para no ser disjuntos?
Consideremos entonces el siguiente esquema:
$U \subset X$ tiene una cobertura abierta de $\{ V_1 , V_2, V_3 \}$ .">
Desde $V_i \cap V_j = \varnothing$ para todos $i,j$ se deduce trivialmente que $\mathcal{F}(V_i \cap V_j) = \{ 0 \}$ y así $s_i |_{V_i \cap V_j} = s_j |_{V_i \cap V_j} = 0$ para todos $s_i \in V_i, s_j \in V_j$ . Pero eso implicaría entonces que los morfismos de restricción $\rho_{UV_i}$ deben todos necesariamente sea suryente. Y eso me parece impar y profundamente sospechoso.
¿Qué, y dónde, estoy haciendo algo que debe estar terriblemente mal?
Espero sus respuestas.
