Encuentra una ecuación del plano que pasa por los puntos $p(1,0,1)$ y $q(2,1,0)$ que es en paralelo a la intersección de los dos planos $x+y+z=5$ y $3x-y=4$ ?
He trazado los dos puntos y la intersección de los dos planos utilizando un graficador 3D y los puntos no son paralelos lo que significa que la ecuación del plano solicitado no sería paralela? ¿Es eso correcto?
Creo que lo que se pide es encontrar un plano que contenga los dos puntos $p$ y $q$ de tal manera que el plano nunca toca la línea de intersección de los dos planos $x+y+z=5$ y $3x-y=4$ .
Si visualizas esto, tienes un par de líneas $L_1$ (conexión $p$ y $q$ ) y $L_2$ (la intersección de los otros dos planos); siempre que $L_1$ y $L_2$ no se cruzan, podemos encontrar un plano que contenga $L_1$ no cumple $L_2$ . Tenga en cuenta que esto no requiere $L_1$ y $L_2$ para ser en paralelo , sólo sesgo (=no intersección). Piensa en el porqué.
Es el plano el que tiene que ser paralelo, no los puntos.
Los puntos sólo tienen que estar en el plano.
Sea la ecuación del plano $ax+by+cz=d$ . Sin pérdida de generalidad podemos dejar que $d=1$ .
Utilizando los valores de $(x,y,z)$ a partir de los puntos dados, encontramos que $a+c=d=1$ y que $2a+b=d=1$ .
La línea de intersección tiene un vector de dirección igual al producto vectorial de las normales a los dos planos:
$\underline p=\left(\begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{r} 3 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 1 \\ 3 \\ -4 \end{array}\right) $
Este vector de dirección es paralelo al plano requerido, por lo que $\left(\begin{array}{r} 1 \\ 3 \\ -4 \end{array}\right) . \left(\begin{array}{r} a \\ b \\ c \end{array}\right)=0 $
$a+3b-4c=0$
Ahora junta estas tres ecuaciones:
$a+3b-4c=0$
$a+c=1$
$2a+b=1$
Dejemos que $c=1-a$ para que nuestras ecuaciones sean..:
$a+3b-4+4a=0 \Rightarrow 5a+7b=4$
$2a+b=1 \Rightarrow 14a+7b=7$
Estos dan $9a=3 \Rightarrow a=\frac 1 3$ , $b= \frac 1 3$ , $c=\frac 23$
El avión es $\frac13x+\frac13y+\frac23z=1$ o mejor $x+y+2z=3$ .
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¿Qué "puntos no son paralelos"? ¿No son paralelos a qué? Se dan dos puntos. La intersección de dos planos es una recta. Un plano será paralelo a una recta dada siempre que no la contenga y su vector normal sea perpendicular al vector dirección de la recta.
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Mirando los dos puntos p y q visualmente no parecen estar en un plano que sea paralelo a la línea de intersección de los dos planos. Aquí está la ecuación que encontré que contiene los dos puntos 7x - 5y +2z -9 = 0
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Si tomas sólo dos puntos hay un número infinito de planos que pasan por ellos.