Me preguntaba si ya se ha demostrado/desmentido o al menos conjeturado que el denominador de bernoulli de $B_{2n}$ es divisible por $2n+1$ si y sólo si $2n+1$ ¿es primordial?
En caso contrario, ¿el denominador debe compartir siempre un factor común con el valor $2n+1$ ?
O la pregunta podría escribirse como es denom( $B_{2n}) = \prod\limits_{p:(p-1)|(2n)} p = (2n+1)m$ donde m es un número entero siempre es cierto si y sólo si $2n+1$ ¿es primordial?
No. Por ejemplo, el denominador de $B_{560}$ es $15037922004270$ que es divisible por $561 = 3 \times 11 \times 17$ .
Hmm: ¿hay alguna relación con los números de Carmichael?
EDIT: Por el criterio de Korselt, el entero positivo compuesto $x$ es un número de Carmichael si $x$ es libre de cuadrados y $p-1 \mid x-1$ para todos los primos $p$ dividiendo $x$ . Además cada número de Carmichael es impar.
Según von Staudt-Clausen, el denominador de $B_{2n}$ es el producto de todos los primos $p$ tal que $p-1 \mid 2n$ . Así que si $x=2n+1$ es un número de Carmichael, los primos $p$ dividiendo $x$ son todos los factores del denominador de $B_{2n}$ y el producto de esos primos, que es $x$ mismo ya que $x$ es libre de cuadrados, divide ese denominador.
Por otro lado, cada compuesto impar $x=2n+1$ tal que $x$ divide el denominador de $B_{2n}$ debe ser libre de cuadrados (porque el denominador de $B_{2n}$ es libre de cuadrados), y los primos $p$ dividiendo $x$ debe dividir el denominador de $B_{2n}$ así que $p-1 \mid x-1$ es decir $x$ debe ser Carmichael.
Así que el resultado es: $2n+1$ divide el denominador de $B_{2n}$ si $2n+1$ es primo o Carmichael.
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