Hay exactamente $2^k$ elementos $a\in R$ tal que $a^2=a$ .

Question

Dejemos que $p_1,\cdots,p_k$ sean primos distintos, y que $n=p_1\cdots p_k$ . Si $R$ es el anillo de enteros módulo $n$ , demuestran que hay exactamente $2^k$ elementos $a\in R$ tal que $a^2=a$ .

Observación: este ejercicio aparece en el libro de Herstein.

Supongo que esto funcionará con la inducción en $k$ . Para $k=1$ , si $a^2=a$ entonces $a(a-1)=0$ y como $R$ es el dominio, se deduce que $a=0$ o $a=1$ . OK

Ahora, ¿cómo puedo trabajar con la hipotetización por inducción? Gracias de antemano.

Answer 1

No creo que la inducción simplifique las cosas aquí.

Por el teorema del resto chino, $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \cong \prod\limits_{i=1}^{k} \mathbb{Z}/p_i\mathbb{Z}$

Obsérvese que un elemento es idempotente en el producto del lado derecho si todos sus componentes son idempotentes. En nuestro producto, cada componente es un campo, que posee precisamente los idempotentes $0$ y $1$ .