Encuentre $A$ si $B=A-A^T$

Question

Supongamos que $B=A-A^T$ y sé $B\in\mathbb R^{n\times n}$ . ¿Cuál es una forma sencilla de conseguir $A$ ? ¿Y si tengo la restricción de que $A_{ij}\ge 0$ $\forall i,j$ ?

Aclaraciones:

• $B$ es simétrica al sesgo
• $a_{ii}$ (los elementos diagonales de $A$ ) son cero

Answer 1

Si sólo sabes $B$ entonces para que la ecuación tenga solución, $B$ debe ser simétrica. $$\implies b_{ij}=a_{ij}-a_{ji} \forall i,j$$

Ahora puedes elegir muchos $a_{ij}, a_{ji}$ que satisfagan esta ecuación. Una opción es $a_{ij}=k, a_{ji}=k-b_{ij}$ . Del mismo modo, puedes elegir casi cualquier cosa para los elementos no diagonales. Para las diagonales se puede tener cualquier $a_{ii}=k \in \mathbb{R}$ .

Answer 2

No puedes, no sin más información.

Supongamos que $B$ es :

$$ B= \begin{bmatrix} 0 & 1\\ -1&0\\ \end{bmatrix} $$

NB : $B$ es antisimétrico a partir de la condición dada y, por tanto, la diagonal principal es cero.

Entonces todo lo que podemos deducir sobre $A$ es que tiene la forma :

$$ A= \begin{bmatrix} p&q+1\\ q&r\\ \end{bmatrix} $$

Dónde $p$ , $q$ y $r \in\mathbb{R}$

Incluso con la restricción, sólo se requiere que $p, q, r > 0$ que no permite resolverlos de forma única.