(Pregunta sencilla) ¿Radio de covergencia de las series de potencias?

Question

Para la serie de potencia: $$ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{2^n} $$

El radio de convergencia sería $$ x = 1 $$ ?

Answer 1

El centro de su intervalo de convergencia es $x=1$ pero no el radio. Para encontrar el radio de convergencia hay que utilizar la prueba de la proporción. $$\lim_{x\to \infty}\left| \frac{(x-1)^{n+1}}{2^{n+1}}\cdot \frac{2^{n}}{(x-1)^{n}}\right|=\lim_{x \to \infty} \left|\frac{x-1}{2}\right| $$ Para que converja, tiene que ser menor que $1$ . Así, $|x-1|<2$ . Así que su radio de convergencia es $2$ y debe estar centrado en $x=1$ .

Esto significa que su intervalo debe contener el intervalo $(-1, 3)$ . Es necesario comprobar los puntos finales para ver si están incluidos o no, ya que la prueba de la proporción no es concluyente si el límite anterior es realmente $1$ exactamente.

Answer 2

Para complementar la respuesta de CPM: También se puede utilizar la fórmula de Chauchy-Hadamard . Afirma que la serie $\sum a_n (x-c)^n$ tiene el radio de convergencia $$R=\frac{1}{\lim \sup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$$ Así, $$R=\frac{1}{\lim \sup_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{2^n}}}=\frac{1}{\lim \sup_{n\to\infty} \frac{1}{2}} = 2$$

Answer 3

Una forma a menudo más fácil es que el radio de cobertura es el límite superior mínimo de la $r\ge 0$ tal que $a_nr^n\to 0$ como $n\to\infty$ .

Aquí, $\,\dfrac{a_n}{r^n}=\Bigl(\dfrac r2\Bigr)^n$ y es bien sabido que tiende a $0$ si y sólo si $\,\dfrac r2<1\iff r<2$ Por lo tanto $R=2$ .