Acción transitiva sobre un conjunto finito y un grupo

Question

Si $G$ es un grupo finito y actúa transitivamente sobre un conjunto $X$ con $|X|>1$ . entonces tengo dos preguntas :-

1. Hay algún elemento de $G$ en el que se fija ningún elemento de $X$ .
2. Dé un contraejemplo de esta afirmación cuando $G$ y $X$ son infinitas.

Se agradecerá cualquier ayuda.

Answer 1

Esto se deduce del lema de Burnside. Como hay una sola órbita, tenemos $$ \lvert G \rvert = \sum_{g \in G} X^g $$ donde $X^g$ es el número de elementos en $X$ arreglado por $g$ . Nota $X^1 = \lvert X \rvert > 1$ y, por lo tanto, si $X^g \geq 1$ para todos $g \in G$ tenemos $$ \sum_{g \in G} X^g \geq \lvert X \rvert + \lvert G \rvert - 1 > \lvert G \rvert $$ que es una contradicción. Por lo tanto, hay un elemento de $G$ que no fija ningún elemento.

Para un contraejemplo: dejemos que $X = \mathbb{Z}$ y que $G$ sea el grupo de todas las permutaciones de $\mathbb{Z}$ que sólo tocan un número finito de elementos. Entonces todas las transposiciones están en $G$ y así $G$ actúa transitoriamente sobre $\mathbb{Z}$ pero cada elemento de $G$ fija infinitos elementos en $\mathbb{Z}$ .