Recientemente estoy estudiando el teorema de Banach-Steinhaus. Me surge una duda, estoy seguro de que he cometido un error, pero no consigo averiguar dónde está el error.
El teorema de Banach - Steinhaus dice: Sea X un espacio de Banach e Y un espacio vectorial normado. Supongamos que F es un conjunto de operadores lineales acotados de X a Y. Si para todo x en X se tiene
$$\sup_{T\in F}\|T(x)\|_Y<\infty,$$
entonces hay
$$\sup_{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}<\infty.$$
Mi problema es que si elimino la condición " $\sup_{T\in F}\|T(x)\|_Y<\infty$ ", ¿puedo llegar a la conclusión anterior? Mi razón es:
Desde $F$ es un conjunto de operadores lineales acotados, tenemos
existe un $M_i\ge0$ , de tal manera que $\|T_i(x)\|\lt M_i\|x\|$ Aquí sólo enumero los elementos de $F$ como $T_i, i=1,2,3...$ . Esto se desprende de la definición de operador acotado.
Entonces dejemos que $M = max_i\{M_i\}$ Puedo tener $$\|T_i(x)\|\lt M\|x\|, \forall i=1,2,3... $$
por lo que hay $$\frac{\|T_i(x)\|}{\|x\|}\lt M, \forall i=1,2,3... $$ entonces tienen $$\sup_i{\|T_i\|}\lt M\lt \infty.$$
Entonces, ¿dónde está mi error? Realmente me molesta.
También puedo cambiar el enunciado de mi pensamiento por este :
Desde $F$ es un conjunto de operadores lineales acotados de $X$ a $Y$ cualquier elemento $T_i$ de la misma debe satisfacer: $$\|T_i(x)\|\lt M_i\|x\|$$ donde $0\le M_i \lt\infty$ . Ahora considere cada $x\in X$ cuando seleccionamos un $x$ tenemos $\|x\|\lt\infty$ , por lo que obtenemos $$\|T_i(x)\|\lt M_i\|x\|\lt\infty$$ ya que cada $x$ tiene la propiedad anterior, podemos aplicarles el supremum, no cambiará el hecho verdadero-falso, es decir $$\sup_{i}\|T_i(x)\|\lt M_i\|x\|\lt\infty$$ por fin sacamos la condición!! ¡qué error! ¿dónde está el error? No lo sé. ¿Podría alguien decirlo?
