Torsiones de álgebras de Hopf conmutativas

Question

Tengo una pregunta tonta.

Dado un álgebra de Hopf $H$ , toma un elemento invertible $J\in H\otimes H$ y definir $\Delta^J=J^{-1} \Delta J$ . Esto se convierte en un nuevo coproducto cuando $J$ satisface una determinada condición. Este $J$ se denominan torsiones, y denotemos la nueva algbera de Hopf así obtenida por $H^J$ . Dos giros se denominan equivalentes gauge cuando existe un elemento invertible $u \in H$ tal que $J_2=\Delta(v) J_1 (v^{-1}\otimes v^{-1})$ . Entonces $H^{J_1}$ y $H^{J_2}$ son isomorfas.

Ahora, tomemos $H=k^G$ (es decir, el álgebra de funciones en $G$ con multiplicación puntual). Entiendo que las torsiones hasta el equivalente gauge están dadas por $H^2(G,k^\times)$ .

Lo que no entiendo es lo siguiente. Dado $J\in H^2(G,k^\times)$ , $(k^G)^J$ sigue siendo conmutativa. Así que debería seguir siendo un álgebra de funciones sobre un grupo, y el grupo en cuestión debería ser $G$ mismo, considerando las representaciones del álgebra de Hopf. Así que creo que $(k^G)^J$ es isomorfo a $k^G$ . (Y hay una declaración a este efecto en la Proposición 1.36.5 y la Observación 1.36.6 en este pdf .)

Pero no puedo construir un isomorfismo explícito, mapeando $\Delta^J$ a $\Delta$ .

¿Podría alguien iluminarme?

Answer 1

Esto fue realmente tonto. Como dice Julian en el comentario anterior, $\Delta^J$ es igual a $\Delta$ Así que no había nada que hacer.

He publicado la pregunta alrededor de la medianoche, justo antes de ir a la cama, y estoy escribiendo esto en mi camino al trabajo. Esto demuestra que no debemos pensar demasiado antes de irnos a dormir, somos propensos a hacer cosas tontas cuando tenemos sueño...

Y de hecho había otra pregunta de MO que era un duplicado exacto de mi estúpida pregunta. ¡Argh!