¿Es esta homología relativa igual a la suma de cuñas de dos toros?

Question

Si $X$ es una suma conectada de toros de remolque, y $A$ es su círculo central como se muestra en la imagen de abajo.

Me gustaría calcular $H_n(X,A)$ . Hay una afirmación en el libro que dice $H_n(X,A)$ representa la homología del espacio cociente $X/A$ obtenido al colapsar $A$ hasta cierto punto.

Si hago eso, entonces tengo la suma de cuña de dos tori $T\vee T$

Así que $H_n(X,A)=H_n(T\vee T)$ $$H_0(X,A)=\mathbb{Z}$$ $$H_1(X,A)=\mathbb{Z}^4$$ $$H_2(X,A)=\mathbb{Z}^2$$ $$H_n(X,A)=0, n\geq 3$$

Pero por qué la solución para $n=2$ da $H_2(X,A)=\mathbb{Z}$ ?

¿La solución es errónea o me estoy equivocando en algo?

Answer 1

Es claramente un error de la declaración. De hecho, ya que $A\subset X$ es un subcomplejo, entonces es cierto que $$ H_n(X,A)\cong \widetilde{H}_n(X/A)$$ (incluso se puede tomar como la definición del primer objeto) Ahora aplica el axioma de cuña para una teoría de homología reducida para obtener que el grupo de homología reducida de una suma de espacios en cuña es la suma directa de los grupos de homología reducida de los espacios, en fórmula $$\widetilde{H}_n(\bigvee_n X_n)\cong \bigoplus_n\widetilde{H}_n(X_n)$$

Un consejo: aunque en esta configuración de homología singular, la homología y la homología reducida no difieren mucho (sólo en grado $0$ por una copia de $\mathbb{Z}$ ) Sugiero que se tenga en cuenta si se trabaja con una teoría o con otra. Esto será útil cuando se trate de teorías de homología generalizada, donde la diferencia es más "interesante".