Teorema del residuo y funciones Gamma incompletas

Question

Intento calcular la siguiente integral:

$$I=\int_0^\infty dx \frac{x^m\, b^x}{x-p}\,$$

donde $m\in\mathbb{N}\,,b\in (0,1),\,p<0$ . Al principio, intenté realizarla como una integral de contorno y utilizando el teorema del residuo y espero encontrar $b^p p^m$ y si tengo polos adicionales (posiblemente de orden superior), para obtener una suma de la forma $\frac{b^{p_i}p_i^m}{(p_i-p_j)^{n_i}}$ ( $n_i$ el orden del polo en $p_i$ ). Pero cuando compruebo en Mathematica, me devuelve que el resultado es, hasta un factor, una función Gamma incompleta $$I\propto \Gamma(m+1,p\log[b])\,.$$

I mientras veo que el numerador se puede poner en forma de $\Gamma$ -función a través de un cambio de variable, me falla cómo la presencia del denominador permite ponerlo en esta forma.

Además, siguiendo con el teorema del residuo, yo esperaría que la $\Gamma$ -que aparezca, utilizando el contorno para que sea la mitad superior del disco (es decir, la integración de 0 a infinito).

¿Hay una forma sencilla de ver el resultado desde Mathematica? ¿Y puede generalizarse a un número arbitrario de polos?

Answer 1

Estuve leyendo un poco más sobre el teorema del residuo, y no creo que pueda aplicarlo aquí, o al menos no de forma directa, ya que los polos están en la recta real negativa, y por tanto en el contorno de integración. Además el integrando no es par, por lo que no puedo integrar en un semicírculo y obtener lo que quería.

Sin embargo, he encontrado una solución que publico aquí para aquellos que puedan estar interesados.

La integral anterior, incluso en el caso de polos superiores, puede escribirse en términos de la función hipergeométrica confluente , $U(a,b,z)$ : $$\int_0^\infty dx \frac{b^x\, x^m}{(x-p)^n}=(-\log b)^{n-m-1}\,\Gamma(m+1)\,U(n,-m+n,p\log b)\,,$$ Este resultado se obtiene utilizando su representación integral y un cambio de variable. En el caso $n=1$ recuperamos el incompleto $\Gamma$ -función. Si se consideran polos adicionales, se puede realizar una descomposición parcial de la fracción para obtener una composición lineal de la fórmula anterior. Los residuos (sin utilizar el análisis complejo) siguen siendo útiles para obtener los coeficientes de la combinación lineal.