¿Por qué se produce este patrón?

Question

La primera vez que vi este patrón fue cuando intentaba factorizar cuadráticas.

dejar $a + b = k$ donde $k$ es cualquier constante,

Ahora dejemos que $(a - b)/2 = x$

Parece ser que $(k^2/4) - x^2 = a*b$

Por ejemplo, digamos que $k = 8$

entonces,

$4*4 = 16$

$3*5 = 15$

$2*6 = 12$

$1*7 = 7$

$0*8 = 0$

$-1*9 = -9$

Si restamos 16 a todos ellos, obtenemos $0, -1, -4,-9, -16, and -25$ .

Mi pregunta es, ¿por qué se produce este patrón? Tal vez me estoy perdiendo algo obvio, pero hay tantas variables que no sé por dónde empezar

Answer 1

En el puesto original, $x=a-b$ y se cambió a $x=\frac{a-b}{2}$ . Esta respuesta aborda ambas fórmulas.

Considere $$\frac{k^2}{4}-x^2=\frac{(a+b)^2}{4}-(a-b)^2=\frac{a^2}{4}+\frac{ab}{2}+\frac{b^2}{4}-a^2+2ab-b^2=-\frac{3}{4}a^2+\frac{5}{2}ab-\frac{3}{4}b^2=-\frac{3}{4}(a-b)^2+ab$$ Esto es no $ab$ excepto en situaciones bastante especiales.

Ahora bien, si $x=\frac{a+b}{2}$ (como se sugiere en los comentarios y lo que parece ser la intención original del OP de la línea que comienza con si restamos 16...) $$\frac{k^2}{4}-x^2=\frac{(a+b)^2}{4}-\frac{(a-b)^2}{4}=\frac{a^2}{4}+\frac{ab}{2}+\frac{b^2}{4}-\frac{a^2}{4}+\frac{ab}{2}-\frac{b^2}{4}=ab,$$ como se desee.

Esto sucede porque $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ y $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ . Por lo tanto, $(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$ que puede ser escalado a $ab$ . Trucos como éste aparecen a menudo en los exámenes de cálculo, especialmente en situaciones de longitud de arco.