Si $f$ es suave y aún así existe una función suave $g$ tal que $f(x)=g(x^2)$

Question

Supongamos que una función $f: R \rightarrow R$ es suave y uniforme. ¿Existe una función suave $g:R \rightarrow R$ tal que $f(x)=g(x^2)$ ?

Answer 1

Por cierto, esto se deduce fácilmente de una sencilla fórmula integral para las derivadas de $g$ (ver esta pregunta que he publicado recientemente). De hecho, la serie de potencia formal de Taylor en $0$ de un par $C^{\infty}$ función $f$ es, por supuesto, en $\mathbb{R}[[x^2]]\, .$

(más detalles) . Esta función $g$ debe definirse necesariamente como $g(x):=f(\sqrt x)$ para $x > 0$ . Esto hace que $C^\infty$ en $\mathbb{R_+}$ como una composición de funciones suaves. Sin embargo, de la fórmula de composición no se deduce inmediatamente que las derivadas de $x > 0$ , $\, g^{(k)}(x),$ tienen un límite para $x\to 0$ que es, por supuesto, una condición necesaria para $g$ para que sea extensible a un $C^\infty$ función en $\mathbb{R}$ . Pero esto se desprende de la representación

$$\frac{g^{(k)}}{k!} (x^2)=(2x)^{-2k+1}k {2k \choose k}\, \int_0^x (x^2-t^2)^{k-1}\frac{f^{(2k)}}{(2k)!}(t) dt\, $$

que exhibe el $k$ -coeficiente de Taylor de $g$ como una media integral del $2k$ -coeficientes de Taylor de $f$ en el intervalo en $[0,x]$ para que $$\lim_{x > 0\atop x \to 0} \frac{g^{(k)}}{k!} (x) = \frac{f^{(2k)}}{(2k)!}(0)\, .$$ En general, para una función $g\in C^\infty(\mathbb{R_+})$ siendo todas las derivadas continuamente ampliables a $0$ es también condición suficiente para $g$ para ser suavemente extensible en $\mathbb{R}\, $ (como un ejemplo fácil del teorema de extensión de Whitney; o por Teorema de Borel , ampliando $g$ en la línea media izquierda por cualquier $h\in C^\infty(\mathbb{R})$ con las derivadas prescritas en $0$ o con argumentos más elementales ad hoc ).

Answer 2

Sí, este es un teorema de Hassler Whitney:

Whitney, Hassler Funciones pares diferenciables. Duke Math. J. 10, (1943). 159-160.

Answer 3

Ver la respuesta (aquí) para más información: Las funciones suaves que son invariantes bajo una representación compacta de un grupo de Lie se factorizan suavemente sobre los polinomios básicos invariantes.