Verificación de una relación de equivalencia

Question

Como autodidacta, estaba leyendo una prueba de que cualquier subconjunto abierto, $U$ de $\mathbb{R}$ es una unión disjunta de intervalos abiertos. La prueba se basa en una relación de equivalencia en la que $x\sim y$ si $(x,y)$ está contenida en $U$ .

Tengo dos preguntas con respecto a la verificación de que esta es una relación de equivalencia válida. (Perdón si son obvias).

En primer lugar, por la reflexividad, $x\sim x$ es $(x,x)$ ¿el conjunto nulo?

En segundo lugar, respecto a la transitividad, si $x < y < z$ son elementos de $U$ con $x\sim y$ y $y\sim z$ entonces $(x,y)$ y $(y,z)$ están ambos contenidos en $U$ . Mi pregunta es cómo se puede afirmar que $x\sim z$ es decir, que $(x,z)$ está en $U$ ya que $y$ no está en ninguno de los dos conjuntos (aunque se ha dicho que $y$ es un elemento de $U$ ).

Gracias.

Answer 1

1. Si compruebas las definiciones, $(x,y)$ se define muy probablemente como el conjunto de todos los $w$ con $x < w < y$ . Así que $(x,x)$ sería el conjunto de todos los $w$ con $x < w < x$ . ¿Qué juego es ese?

2. Intenta hacer un dibujo para ver lo que ocurre aquí. De manera más formal, observe que para mostrar $(x,z) \subset U$ Hay que demostrar que para cualquier $w$ con $x < w < z$ tenemos $w \in U$ . Ahora necesariamente $w < y$ o $w = y$ o $w > y$ . Demuestre que en cada caso se deduce que $w \in U$ .

Answer 2

$U$ está abierto, entonces $\mathbb{R}-U$ está cerca. Supongamos que $(x,y)\subseteq U$ y $(y,z)\subseteq U$ . Supongamos que $y\not\in U$ . Desde $\mathbb{R}-U$ es cerrado, existe una secuencia $(y_n)$ en $\mathbb{R}-U$ con $y_n\to y$ . Dejemos que $r= \min\{(z-y)/2,(y-x)/2\}$ . Entonces existe $N\in \mathbb{N}$ de manera que si $n\geq N$ , $|y_n-y|\lt r$ . Entonces para $n\geq N$ , $y_n\in (x,y)$ o $y_n\in (y,z)$ En cualquier caso $y_n\in U$ y $y_n\in\mathbb{R}-U$ . Esto es imposible. Por lo tanto, $y\in U$ .