Tenemos una función continua $f:\bar{B}\to\mathbb{R}^n$ , donde $\bar{B}=\{x\in\mathbb{R}^n:\|x\|\le 1\}$ , de tal manera que si $\|x\|=1$ entonces $\|f(x)-x\|<\epsilon$ para un fijo $\epsilon\in(0,1)$ . Tenemos que demostrar que $B(0,1-\epsilon)\subseteq f(\bar{B})$ .
Esto aparece como un lema en la obra de Rudin Análisis real y complejo . El autor afirma que es posible demostrarlo sin el teorema del punto fijo de Brouwer bajo la hipótesis adicional de que $f$ es Abrir .
Hasta ahora sólo he observado que el problema se reduce a mostrar que $f(\bar{B})\cap B(0,1-\epsilon)$ no está vacío. ¿Alguna idea?
