¿Cuántos automorfismos de $S_n$ ¿tomar transposiciones en transposiciones?

Question

Necesito demostrar que un automorfismo de $S_n$ que lleva transposiciones a transposiciones es un automorfismo interno.

Pensé que se podría hacer mostrando que tales automorfismos forman un subgrupo $H\le Aut(S_n)$ que $Inn(S_n)\subset H$ y que tienen el mismo número de elementos. El número de automorfismos internos es $n!$ porque $S_n$ tiene un centro trivial (al menos cuando no es abeliano) y por tanto es isomorfo a $Inn(S_n)$ . Sin embargo no tengo ni idea de cómo podría contar el número de elementos en $H$ .

¿Hay alguna manera de hacerlo, o debo cambiar el enfoque por completo?

Gracias.

Answer 1

La sugerencia de Kannappan Sampath puede completarse como sigue.

Dejemos que $f$ sea un automorfismo de $S_n$ con la propiedad de que mapea todas las transposiciones a transposiciones. Así que $f(1k)=(a_kb_k)$ para todos $k=2,3,\ldots,n$ , donde $a_k\neq b_k$ son elementos del conjunto $\{1,2,\ldots,n\}$ . Como las permutaciones $(12)$ y $(13)$ no conmutan, sus imágenes $(a_2b_2)$ y $(a_3b_3)$ tampoco se desplazan. Esto significa que la intersección $\{a_3,b_3\}\cap\{a_2,b_2\}$ es un singleton. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que $a_2=a_3=a$ .

A continuación afirmo que para todos $k>3$ también tenemos $a\in\{a_k,b_k\}$ . Supongamos, por el contrario, que para algunos $k>3$ tenemos $a_k\neq a\neq b_k$ . Porque $(1k)$ no conmuta con $(12)$ Debemos tener $b_2\in\{a_k,b_k\}$ . Del mismo modo, porque $(1k)$ no conmuta con $(13)$ o bien, debemos tener también $b_3\in\{a_k,b_k\}$ Así que $(a_kb_k)=(b_2b_3)$ . Pero esto es una contradicción, porque entonces $$ f(23)=f((13)(12)(13))=(ab_3)(ab_2)(ab_3)=(b_2b_3)=f(1k) $$ violando el hecho de que $f$ es inyectiva.

Así, todas las transposiciones $(a_kb_k)$ mover el elemento $a$ y con el tiempo podemos suponer que $a_k=a$ para todos $k$ . Todos los enteros $b_k\neq a$ y también deben ser distintos, por lo que el mapeo $\sigma: 1\mapsto a, k\mapsto b_k$ está en $S_n$ . Hemos demostrado que $f$ coincide con el automorfismo interno $x\mapsto \sigma x\sigma^{-1}$ en todos los $(n-1)$ generadores $x=(1k),k=2,3,\ldots,n,$ del grupo $S_n$ por lo que se deduce la afirmación.

Answer 2

Creo que hay una manera más fácil de ver esto (ahora editado para que el argumento sea correcto - y también más simple, gracias al comentario de Jyrki). Un automorfismo interno de $S_n$ es equivalente a una permutación del conjunto subyacente en el que $S_n$ actos. Elijamos que nuestros generadores sean una permutación $a=(1 2)$ y el ciclo n $b=(1 2 3 ... n)$ .

Entonces sabemos que el automorfismo envía $a$ a otra transposición $a'$ .

Consideremos la descomposición del ciclo de $b'$ la imagen de $b$ . Los dos objetos permutados por $a'$ deben ser adyacentes dentro del mismo ciclo en $b'$ (si no $b'^{-1}a'b'$ se encontrará con una transposición que mueve diferentes objetos de $a'$ y se desplazará con él, y esto no es cierto para $a, b$ ).

Supongamos que los objetos movidos por $a'$ son adyacentes en un ciclo de longitud $m<n$ en $b'$ . Entonces $b'^m$ se desplazará con $a'$ (no moverá los objetos movidos por $a'$ ). Esto no es cierto para $a, b$ , por lo que debemos tener $m=n$ es decir $b'$ es un $n$ -ciclo con los elementos movidos por $a'$ adyacente. Dado que este es el mismo patrón de ciclo que para $a, b$ habrá una permutación de los objetos subyacentes que haga el trabajo, y este es el automorfismo interno requerido.