Dejemos que $\alpha,\gamma$ sean ordinales tales que $0<\alpha\le\gamma$ . Entonces hay un ordinal mayor $\beta$ tal que $\alpha\cdot\beta\le\gamma$ .
¿Mi intento está bien o contiene fallos o lagunas lógicas? Cualquier sugerencia es muy apreciada. Gracias por su ayuda.
Mi intento:
Dejemos que $A=\{\delta \in {\rm Ord} \mid \alpha \cdot \delta > \gamma\}$ . Desde $\alpha\cdot(\gamma+1)=\alpha\cdot\gamma+\alpha>\alpha\cdot\gamma\ge\gamma$ , $\gamma+1\in A$ y por lo tanto $A\neq\emptyset$ . Sea $\xi=\min A$ .
A continuación demostramos que $\xi$ es un ordinal sucesor. Supongamos lo contrario, que $\xi$ es un ordinal límite, entonces $\alpha\cdot\xi=\sup_{\eta<\xi}(\alpha\cdot\eta)>\gamma$ . Entonces $\alpha\cdot\eta>\gamma$ para algunos $\eta<\xi$ . Así, $\eta\in A$ y $\eta<\xi$ . Esto contradice la minimidad de $\xi$ . Por lo tanto, $\xi$ es un ordinal sucesor y $\xi=\beta+1$ . Entonces $\beta=\max\{\delta \in {\rm Ord} \mid \alpha \cdot \delta \le \gamma\}$ .
Actualización: Agrego la prueba de $\beta=\max\{\delta \in {\rm Ord} \mid \alpha \cdot \delta \le \gamma\}$ .
Para $\delta>\beta$ : $\delta\ge\beta+1=\xi\implies\alpha \cdot\delta\ge\alpha \cdot\xi>\gamma\implies\alpha \cdot\delta>\gamma\implies$ $\delta\notin\{\delta \in {\rm Ord} \mid \alpha \cdot \delta \le \gamma\}$ . Además, $\beta\in\{\delta \in {\rm Ord} \mid \alpha \cdot \delta \le \gamma\}$ . Por lo tanto, $\beta=\max\{\delta \in {\rm Ord} \mid \alpha \cdot \delta \le \gamma\}$ .
