¿Es este el enfoque correcto para resolver $\sin 4 \omega - \sin 6 \omega=0$ ¿analíticamente?

Question

El problema es el siguiente:

$$\sin 4 \omega - \sin 6 \omega=0$$

Lo que hice para resolver este problema fue hacer un poco de trabajo algebraico como se muestra a continuación

$$\sin 4 \omega - \sin 6 \omega=0$$

$$2 \sin 2 \omega \cos 2 \omega - \left ( \sin 4 \omega \cos 2 \omega + \cos 4 \omega \sin 2 \omega \right )= 0$$

$$2 \sin 2 \omega \cos 2 \omega - \sin 4 \omega \cos 2 \omega - \cos 4 \omega \sin 2 \omega = 0$$

$$2 \sin 2 \omega \cos 2 \omega - 2 \sin 2 \omega \cos 2\omega \times \cos 2 \omega - \left ( \cos ^{2} 2 \omega - \sin ^{2} 2 \omega \right ) \sin 2 \omega = 0$$

$$2 \sin 2 \omega \cos 2 \omega - 2 \sin 2 \omega \cos 2\omega \times \cos 2 \omega - \left ( \cos ^{2} 2 \omega - \left (1-\cos ^{2} 2 \omega \right ) \right ) \sin 2 \omega = 0$$

$$2 \sin 2 \omega \cos 2 \omega - 2 \sin 2 \omega \cos ^{2} 2\omega - \left ( \cos ^{2} 2 \omega - 1+\cos ^{2} 2 \omega \right ) \sin 2 \omega = 0$$

$$2 \sin 2 \omega \cos 2 \omega - 2 \sin 2 \omega \cos ^{2} 2\omega - \left ( 2 \cos ^{2} 2 \omega - 1 \right ) \sin 2 \omega = 0$$

$$\sin 2 \omega \left ( 2 \cos 2 \omega - 2 \cos ^{2} 2 \omega - 2 \cos^{2} 2 \omega +1 \right ) = 0$$

$$\sin 2 \omega \left (- 4 \cos ^{2} 2 \omega + 2 \cos 2 \omega +1 \right ) = 0$$

$$- \sin 2 \omega \left ( 4 \cos ^{2} 2 \omega - 2 \cos 2 \omega - 1 \right ) = 0$$

Entonces, dividiendo ambos lados por $ -1 $ :

$$\sin 2 \omega \left ( 4 \cos ^{2} 2 \omega - 2 \cos 2 \omega - 1 \right ) = 0$$

Ahora es cuando tengo dudas:

¿Debo seguir este camino?

$\sin 2 \omega = 0$

Por lo tanto: (en el intervalo de $[0, 2\pi ]$ )

$2 \omega = 0$

$\omega = 0$

$2 \omega = \pi$

$\omega = \frac{\pi}{2}$

$2 \omega = 2 \pi$

$\omega = \pi$

$\omega = \left \{0, \frac{\pi}{2}, \pi \right \}$

Entonces en el otro factor:

$$4 \cos ^{2} 2 \omega - 2 \cos 2 \omega - 1 = 0$$

$$\cos 2 \omega = \frac{-\left( -2 \right ) \pm \sqrt {(-2)^{2}-4(4)(-1)}}{2\times 4}$$

$$\cos 2 \omega = \frac{2 \pm \sqrt {20}}{8}=\frac{1 \pm \sqrt {5}}{4}$$

$$\cos 2 \omega = \frac{1 + \sqrt {5}}{4}$$

$$2 \omega = \cos^{-1} \left ( \frac{1 + \sqrt {5}}{4} \right )$$

$$\omega = \frac{\cos^{-1} \left ( \frac{1 + \sqrt {5}}{4} \right )}{2}$$

Como este valor es positivo, entonces la otra opción en el intervalo $[0, 2\pi ]$ sería:

$$\omega = 2 \pi - \frac{\cos^{-1} \left ( \frac{1 + \sqrt {5}}{4} \right )}{2} = \frac{4 \pi - \cos^{-1} \left ( \frac{1 + \sqrt {5}}{4} \right )}{2}$$

Finalmente para la segunda solución de la ecuación cuadrática:

$$\cos 2 \omega = \frac{1 - \sqrt {5}}{4}$$

Como este valor es negativo, el ángulo $\omega$ debe estar en el segundo cuadrante y en el tercer cuadrante, por lo tanto:

$$\omega = \frac{\cos^{-1} \left ( \frac{1 - \sqrt {5}}{4} \right )}{2}$$

entonces la otra solución en el intervalo $[0, 2\pi ]$ sería:

$$\omega = 2 \pi - \frac{\cos^{-1} \left ( \frac{1 - \sqrt {5}}{4} \right )}{2} = \frac{4 \pi - \cos^{-1} \left ( \frac{1 - \sqrt {5}}{4} \right )}{2}$$

Por lo tanto, la solución hasta ahora para estos cuatro sería:

$$\omega = \left \{ \frac{\cos^{-1} \left ( \frac{1 + \sqrt {5}}{4} \right )}{2}, \frac{4 \pi - \cos^{-1} \left ( \frac{1 + \sqrt {5}}{4} \right )}{2}, \frac{\cos^{-1} \left ( \frac{1 - \sqrt {5}}{4} \right )}{2} , \frac{4 \pi - \cos^{-1} \left ( \frac{1 - \sqrt {5}}{4} \right )}{2} \right \}$$

Entonces añadiendo los otros dos que obtuve antes haría $\omega$ este conjunto:

$$\omega = \left \{ 0, \frac{\pi}{2}, \pi ,\frac{\cos^{-1} \left ( \frac{1 + \sqrt {5}}{4} \right )}{2}, \frac{4 \pi - \cos^{-1} \left ( \frac{1 + \sqrt {5}}{4} \right )}{2}, \frac{\cos^{-1} \left ( \frac{1 - \sqrt {5}}{4} \right )}{2} , \frac{4 \pi - \cos^{-1} \left ( \frac{1 - \sqrt {5}}{4} \right )}{2} \right \}$$

Pero mi pregunta es si el conjunto anterior es el camino correcto:

Tenía la duda de si debía utilizar

$$\sin 2 \omega = 0$$

$$\sin 2 \omega = \sqrt{1 - \cos 2 \omega} = 0$$

$$\sqrt{1 - \cos 2 \omega} = 0$$

$$1 - \cos 2 \omega = 0$$

$$\cos 2 \omega = 1$$

$$\omega = \frac{\cos^{-1} \left ( 1 \right )}{2}= 0 , \frac {2 \pi}{2}$$

$$\omega = 0, \pi$$

Pero aquí la "respuesta" $\frac{\pi}{2}$ parece que falta. ¿Me he perdido algo? Espero que alguien pueda ayudarme a ver si mi procedimiento es el adecuado para este caso. La razón por la que decidí cambiar la función seno por coseno para resolver la ecuación fue porque no estaba seguro de si está permitido igualar a cero ambos factores si las funciones son diferentes o tienen que ser iguales? Pero al cambiar de una función a otra parece que se me escapa una respuesta. ¿Está mi lógica en el camino correcto?

Answer 1

Otro enfoque: $$ \begin{align} \sin(4\omega)-\sin(6\omega) &=\sin(5\omega-\omega)-\sin(5\omega+\omega)\\ &=-2\cos(5\omega)\sin(\omega) \end{align} $$ por lo que necesitamos $$ \cos(5\omega)=0\iff5\omega=\left(k+\frac12\right)\pi $$ o $$ \sin(\omega)=0\iff\omega=k\pi $$ Por lo tanto, obtenemos las soluciones $$ \omega\in\left\{\frac{2k+1}{10}\pi,k\pi:k\in\mathbb{Z}\right\} $$

Answer 2

Analizamos los errores de su enfoque:

Tu procedimiento estaba bien hasta que intentaste resolver la ecuación $\sin 2\omega = 0$ .

En su primera aproximación, se perdió las soluciones $\omega = \dfrac{3\pi}{2}, 2\pi$ .

En su segundo enfoque, \begin {align*} \sin ^2 2 \omega + \cos ^2 2 \omega & = 1 \\ \sin ^2 2 \omega & = 1 - \cos ^2 2 \omega\\ | \sin 2 \omega | & = \sqrt {1 - \cos ^{ \color {rojo}{2}} 2 \omega } \\ \sin 2 \omega & = \color {rojo}{ \pm } \sqrt {1 - \cos ^{ \color {rojo}{2}} 2 \omega } \\ 0 & = \color {rojo}{ \pm } \sqrt {1 - \cos ^{ \color {rojo}{2}} 2 \omega } \\ 0 & = 1 - \cos ^{ \color {rojo}{2}} 2 \omega\\ \cos ^{ \color {rojo}{2}} 2 \omega & = 1 \\ | \cos 2 \omega | & = 1 \\ \cos 2 \omega & = \color {rojo}{ \pm } 1 \end {align*} lo que de nuevo da lugar a las soluciones $$\omega = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$$ El valor $\omega = \dfrac{\pi}{2}$ es claramente una respuesta a la ecuación original ya que $$\sin 4\omega - \sin 6\omega = \sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{2}\right) - \sin\left(6 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = \sin(2\pi) - \sin(3\pi) = 0 - 0 = 0$$ Del mismo modo, se puede comprobar que $0$ , $\pi$ , $\dfrac{3\pi}{2}$ y $2\pi$ son soluciones a la ecuación original por sustitución directa.

Al resolver la ecuación $$4\cos^2 2\omega - 2\cos 2\omega + 1 = 0$$ has pasado por alto el hecho de que si $\omega \in [0, 2\pi]$ entonces $2\omega \in [0, 4\pi]$ Así que te has perdido cuatro soluciones más.

Desde $\cos(-x) = \cos x$ , $\cos 2\omega = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{4} \implies$ $$2\omega = \arccos\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{4}\right) + 2m\pi, m \in \mathbb{Z}$$ o $$2\omega = -\arccos\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{4}\right) + 2n\pi, n \in \mathbb{Z}$$

Desde $\omega \in [0, 2\pi]$ requerimos que $2\omega \in [0, 4\pi] \implies m \in \{0, 1\}$ que da lugar a las soluciones \begin {align*} 2 \omega & = \arccos\left ( \frac {1 + \sqrt {5}}{4} \right ) & 2 \omega & = \arccos\left ( \frac {1 + \sqrt {5}}{4} \right ) + 2 \pi\\ \omega & = \frac {1}{2} \arccos\left ( \frac {1 + \sqrt {5}}{4} \right ) & \omega & = \frac {1}{2} \arccos\left ( \frac {1 + \sqrt {5}}{4} \right ) + \pi\\ \end {align*} y $n \in \{1, 2\}$ que da lugar a las soluciones \begin {align*} 2 \omega & = - \arccos\left ( \frac {1 + \sqrt {5}}{4} \right ) + 2 \pi & 2 \omega & = - \arccos\left ( \frac {1 + \sqrt {5}}{4} \right ) + 4 \pi\\ \omega & = - \frac {1}{2} \arccos\left ( \frac {1 + \sqrt {5}}{4} \right ) + \pi & \omega & = - \frac {1}{2} \arccos\left ( \frac {1 + \sqrt {5}}{4} \right ) + 2 \pi \end {align*}

De la misma manera, $\cos 2\omega = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{4} \implies$ $$2\omega = \arccos\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{4}\right) + 2m\pi, m \in \mathbb{Z}$$ o $$2\omega = -\arccos\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{4}\right) + 2n\pi, n \in \mathbb{Z}$$ Desde $\omega in [0, 2\pi] \implies 2\omega \in [0, 4\pi]$ , $m \in \{0, 1\}$ que da lugar a las soluciones \begin {align*} 2 \omega & = \arccos\left ( \frac {1 - \sqrt {5}}{4} \right ) & 2 \omega & = \arccos\left ( \frac {1 - \sqrt {5}}{4} \right ) + 2 \pi\\ \omega & = \frac {1}{2} \arccos\left ( \frac {1 - \sqrt {5}}{4} \right ) & \omega & = \frac {1}{2} \arccos\left ( \frac {1 - \sqrt {5}}{4} \right ) + \pi\\ \end {align*} y $n \in \{1, 2\}$ que da lugar a las soluciones \begin {align*} 2 \omega & = - \arccos\left ( \frac {1 - \sqrt {5}}{4} \right ) + 2 \pi & 2 \omega & = - \arccos\left ( \frac {1 - \sqrt {5}}{4} \right ) + 4 \pi\\ \omega & = - \frac {1}{2} \arccos\left ( \frac {1 - \sqrt {5}}{4} \right ) + \pi & \omega & = - \frac {1}{2} \arccos\left ( \frac {1 - \sqrt {5}}{4} \right ) + 2 \pi \end {align*}

Una solución alternativa:

Considere el siguiente diagrama.

Dos ángulos dirigidos en posición estándar (vértice en el origen, lado inicial en el positivo $x$ -eje) tienen el mismo seno si el $y$ -las coordenadas de los puntos donde los lados terminales de los ángulos interseccionan el círculo unitario son iguales. Por simetría, $\sin\theta = \sin\varphi$ si $\varphi = \theta$ o $\varphi = \pi - \theta$ . Dado que cualquier ángulo coterminal con estos ángulos tiene la misma $y$ -coordinación, $\sin\theta = \sin\varphi$ si $$\varphi = \theta + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$$ o $$\varphi = \pi - \theta + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$$

Volvamos al problema original. \begin {align*} \sin 4 \omega - \sin 6 \omega & = 0 \\ \sin 4 \omega & = \sin 6 \omega \end {align*}

Configuración $\theta = 4\omega$ y $\varphi = 6\omega$ produce \begin {align*} 6 \omega & = 4 \omega + 2m \pi , m \in \mathbb {Z} & 6 \omega & = \pi - 4 \omega + 2n \pi , n \in \mathbb {Z} \\ 2 \omega & = 2m \pi , m \in \mathbb {Z} & 10 \omega & = \pi + 2n \pi , n \in \mathbb {Z} \\ \omega & = m \pi , m \in \mathbb {Z} & \omega & = \frac { \pi }{10} + \frac {n \pi }{5}, n \in \mathbb {Z} \end {align*} Restringiendo nuestra atención al intervalo $[0, 2\pi]$ implica $m \in \{0, 1, 2\}$ que da lugar a las soluciones $$\omega = 0, \pi, 2\pi$$ y $n \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ que da lugar a las soluciones $$\omega = \frac{\pi}{10}, \frac{3\pi}{10}, \frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{10}, \frac{9\pi}{10}, \frac{11\pi}{10}, \frac{13\pi}{10}, \frac{3\pi}{2}, \frac{17\pi}{10}, \frac{19\pi}{10}$$ como se puede comprobar mediante la sustitución directa y el uso de la simetría.

Obsérvese que con este método no es necesario saber que $$\arccos\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{4}\right) = \frac{\pi}{5}$$ o que $$\arccos\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{4}\right) = \frac{3\pi}{5}$$

Answer 3

Tienes este teorema general:

Teorema. Dejemos que $A,B$ sean números reales. Entonces $$AB = 0 \quad \iff \quad (A=0) \lor (B=0) $$

En pocas palabras, es necesario y suficiente que $A = 0$ o $B = 0$ (o ambos) para $AB$ para que también sea igual a $0$ . Esto significa que su problema es lógicamente equivalente a determinar bajo qué condiciones $A = 0$ y en qué condiciones (generalmente diferentes) $B =0$ y luego tomar el unión de esas condiciones. ¿Por qué el sindicato? Digamos que $A$ y $B$ dependen de $\omega$ : sólo algunos de los $\omega$ son tales que $A(\omega) = 0$ y, del mismo modo, sólo algunos de los $\omega$ son tales que $B(\omega) = 0$ y puede que incluso haya algunos $\omega$ para el que tanto $A(\omega) = B(\omega) = 0$ . Queremos tomar todo de estos $\omega$ (no querríamos dejar ninguna solución atrás), por eso tomamos la unión.

En su caso concreto, $A(\omega) = \cos(5\omega)$ y $B(\omega) = \sin\omega$ para que $$5\omega = \arccos0=\frac \pi 2 + k\pi,\quad \forall k \in \mathbb Z, \qquad \omega = \arcsin 0 = k\pi,\quad \forall k \in \mathbb Z $$ son las dos condiciones que buscas. En definitiva, tu ecuación se satisface siempre que $\omega = k \pi$ o $\omega = \frac \pi 5\left(\frac 1 2 + k\right)$ para algunos $k \in \mathbb Z$ es decir, es necesario y suficiente para $\omega$ tomar cualquiera de estas formas para $\omega$ sea una solución aceptable para su ecuación. Esto significa que has encontrado todas las soluciones posibles de la ecuación original.

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Una nota al margen: en algún momento de tus cálculos, debías calcular $$\arccos\left(\frac{1 + 2\sqrt 5}{4}\right) $$ pero esto no tiene sentido, porque el argumento de $\arccos$ es un número real mayor que $1$ y sabemos que el rango de la función coseno es $[-1,1]$ . Sólo tienes que deshacerte de este caso. Si cambias el $+$ con un $-$ Sin embargo, obtienes un número que se encuentra en el rango del coseno, así que todo está bien ahí - aunque, si lo introduces en tu ecuación original, no obtienes cero, así que en algún lugar de tus cálculos debes haber cometido un error...

Answer 4

Una forma mucho más sencilla: utilizar la relación

$$\sin m \omega = \sin n \omega \implies n \omega = m \omega + 2 \pi k \text { or } n \omega = \pi - m \omega + 2 \pi k$$

Si $m = 4$ y $n = 6$ , debería tener como soluciones

$$\omega = (k - 1)\pi \vee \omega = \dfrac {(2k - 1) \pi}{10}, k \in \mathbb{Z}.$$