Cuándo/Cómo se puede recuperar un grafo no dirigido a partir del laplaciano del grafo

Question

Dejemos que $L$ ser un $d\times d$ matriz simétrica positiva definida. (Cuando) hace $L$ definir un único grafo no dirigido?

Perdonen si esta es una pregunta básica, soy muy nuevo en el campo...

Answer 1

Cuando un grafo no tiene bucles y no contiene multiaristas, su laplaciano es siempre único. Obsérvese que el laplaciano es una diferencia entre las matrices $D$ y $M$ , donde $D$ es una matriz diagonal que contiene la secuencia de grados del gráfico en la diagonal principal y $M$ es la matriz de adyacencia del grafo. $M$ es único para cualquier grafo y para un grafo simple tiene ceros en la diagonal principal, por lo que para cada grafo simple su laplaciano también es único.