Volumen máximo de una caja con tapa que se puede hacer a partir de un cuadrado

Question

Se proporcionarán aperitivos en una caja con tapa (hecha quitando cuadrados de cada esquina de una pieza rectangular de cartón y luego doblando los lados)

Tienes una pieza de cartón que mide 40 cm por 40 cm, ¿qué dimensiones darían el volumen máximo?

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Así es como lo intenté

Deja que la longitud del cuadrado a cortar sea de x cm.
V es el volumen en cm3
Volumen = L x A x H

$$L= 40 – 2x$$ $$A= 40 – 2x$$ $$H = x$$ Entonces el Volumen $= x(40-2x)(40-2x)$ $$V = 4X^3 – 160x^2 + 1600x$$ O $V= x^3 – 40x^2 + 400x$ $$V' = 3x^2 – 80x + 400$$ $$V'' = 6x – 80$$ Resuelve para los puntos críticos al igualar $V ' = 0$

$$3x^ 2 – 80x + 400 = 0 $$

$$(3x - 20)(x – 20) = 0$$

$x= 20/3$ y $x = 20$

Para el Volumen Máximo, $x = 20$ es una solución razonable que se puede aplicar y descartar la otra raíz, es decir, $x = 20$

Prueba de la 2ª derivada con $x = 20/3$:

$$V'' = 6(20/3) – 80= -20 < 0 $$ dará el Volumen Máximo

$$V = (20/3)3 – 40(20/3)2 + 400(20/3)$$

$$V = 1186 \text{cm}^ 3$$

¿Lo hice bien?

Answer 1

$$\begin{align} l&=40-2x\\ b&=\frac{40-2x}{2}\\ &=20-x\\ h&=x\\ V&=lbh\\ &=(40-2x)(20-x)x\\ &=800x-80x^2+2x^3\\ V'&=800-160x+6x^2\\ &=2(x-20)(3x-20) \end{align}$$

Por observación, la raíz en $x=20$ da $b=0$ entonces $V=0$, entonces claramente este no puede ser el máximo.

Eso deja $x=\frac{20}{3}$, donde $V=3,555.5$.

Para completitud, también deberías verificar los límites - estos pueden ser el máximo dentro del dominio aunque no sean máximos. Hemos tratado con $x=20$, $x=0$ no sirve porque $h=0$.