el morfismo finito es propio

Question

Me he atascado en el ejercicio II.4.1 de Hartshorne.

Nótese que es "un morfismo finito es propio".

La mayoría de las soluciones comienzan con "El morfismo adecuado es local en la base..." y utiliza el criterio valorativo sin hipótesis noeteriana.

Pero es en el corolario 4.8 donde se necesita la hipótesis noetheriana.

Hartshorne me da un aviso para la hipótesis noetheriana pero no puedo leer el francés (EGA).

Así que,

1. ¿Pueden darme una condición estricta para el criterio valorativo?

2. ¿Necesitan los corolarios 4.6 y 4.8 (Propiedades de los morfismos separados o propios) alguna condición adicional (como la noeteriana) o sólo necesitan la separación/propiedad?

Answer 1

Para la pregunta 1, las versiones más generales de los distintos criterios valorativos que conozco son las siguientes.

Consideremos un morfismo $f\colon X \to S$ y el siguiente diagrama conmutativo: $$\require{AMScd} \begin{CD} \operatorname{Spec}(K) @>>> X\\ @VVV @VVfV\\ \operatorname{Spec}(A) @>>> S \end{CD}\label{eq:star}\tag{$ * $}$$ donde $A$ es un anillo de valoración con campo de fracciones $K$ .

Criterio valorativo de la cerrazón universal [Pila, Etiqueta01KA ] . Supongamos que $f$ es cuasi-compacto. Entonces, $f$ es universalmente cerrado si y sólo si existe un morfismo $\operatorname{Spec}(A) \to X$ elaboración del diagrama \eqref conmutar.

Criterio valorativo de la separación [Pila, Etiqueta 01KY ] .

1. Si $f$ está separada, entonces hay a lo sumo un morfismo $\operatorname{Spec}(A) \to X$ elaboración del diagrama \eqref conmutar.
2. Si hay como máximo un morfismo $\operatorname{Spec}(A) \to X$ elaboración del diagrama \eqref conmutar, y $f$ está casi separada, entonces $f$ se separa.

Criterio valorativo de la propiedad [Pila, Etiqueta 0BX4 ] . Supongamos que $f$ es cuasi separada y de tipo finito. Entonces, $f$ es propio si y sólo si existe un morfismo único $\operatorname{Spec}(A) \to X$ elaboración del diagrama \eqref conmutar.

Para la pregunta 2, no, no se necesita la noeterianidad para estas afirmaciones. Por ejemplo, véase [Görtz/Wedhorn, Prop. 9.13] para el análogo del Corolario 4.6, y [Görtz/Wedhorn, Prop. 12.58] para el análogo del Corolario 4.8. En esencia, lo que hay que hacer (para la separación) es determinar directamente si la diagonal en cuestión es una inmersión cerrada.